Prodotto tensoriale
Salve a tutti!!! Chi saprebbe spiegarmi il significato dell'espressione
\(\displaystyle \eta \otimes \xi \),
dove \(\displaystyle \eta \) è una uno-forma differenziale e \(\displaystyle \xi \) un campo di vettori su una varietà differenziabile? Vi ringrazio anticipatamente.
\(\displaystyle \eta \otimes \xi \),
dove \(\displaystyle \eta \) è una uno-forma differenziale e \(\displaystyle \xi \) un campo di vettori su una varietà differenziabile? Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Il prodotto tensore di due $k$-spazi vettoriali e' lo spazio vettoriale dotato della seguente proprieta' universale:
\[
\hom_k(V\otimes W,Z)\cong {\rm Bil}(V\times W,Z)
\]
ovvero tale che ogni applicazione bilineare \(V\times W\to Z\) si possa scrivere come una applicazione lineare \(V\otimes W\to Z\). Lo puoi definire, ad esempio, come il quoziente dello spazio vettoriale $k^{(V\times W)}$ rispetto al sottospazio generato dalle relazioni
\( (av,w)\sim (v,aw)\),
\( (v, w+w')\sim (v,w) + (v,w')\),
\((v+v',w)\sim (v,w)+(v',w)\)
per ogni $v,v'\in V, w,w'\in W, a\in k$. Gli elementi del quoziente \(V\otimes W := k^{(V\times W)}\big/\sim\) vengono scritti come $v\otimes w$; anzi, piu' precisamente come somme finite \(\sum_{i=1}^n v_i\otimes w_i\) al variare di \(n\in\mathbb N\) e di vettori \(v_i\in V, w_i\in W\). Orbene, le richieste che hai fatto sopra facendo il quoziente ti implicano le relazioni di "bilinarita`" per l'operazione di tensore:
\(av\otimes w = v\otimes aw\)
\(v\otimes(w+w') = v\otimes w + v\otimes w'\)
etc. Queste relazioni implicano a loro volta che un generico monomio $v\otimes w$, scelte delle basi \(\{e_i\}\) ed \(\{f_j\} \) rispettivamente su $V$ e $W$, si possa scrivere come una somma
\[
v\otimes w = \sum_i(\alpha_i e_i) \otimes \sum_j(\beta_j f_j) = \sum_{i,j}\alpha_i\beta_j (e_i\otimes f_j)
\]Ora facciamolo in geometria differenziale. Le strutture che puoi definire sugli spazi vettoriali (somma diretta, prodotto tensore, passaggio al duale, potenza esterna,...) si trasportano a definizioni "fiberwise" tra i fibrati che hanno per fibre quegli spazi. Questo e' un fatto generale su cui ti invito a riflettere.
Particolarizza questo caso a quello in cui $V$ e' lo spazio tangente ad una varieta' $M$ e $W$ quello cotangente (in uno stesso punto $p$). La tua forma differenziale si scrivera' come $u_i dx_i$ dove $dx_i$ e' la base del cotangente data dai differenziali di una carta locale in $p$. Il campo vettoriale invece si scrivera' come $z_j \frac{\partial}{\partial x_i}$, dove $\frac{\partial}{\partial x_i}$ e' la base sul tangente, anche lei data dalla carta scelta.
Sulla falsariga di quello che ti ho scritto prima con le sommatorie, fai tu il conto: per maggiori informazioni, tutto cio' che ho detto e' espresso meglio qua dentro
\[
\hom_k(V\otimes W,Z)\cong {\rm Bil}(V\times W,Z)
\]
ovvero tale che ogni applicazione bilineare \(V\times W\to Z\) si possa scrivere come una applicazione lineare \(V\otimes W\to Z\). Lo puoi definire, ad esempio, come il quoziente dello spazio vettoriale $k^{(V\times W)}$ rispetto al sottospazio generato dalle relazioni
\( (av,w)\sim (v,aw)\),
\( (v, w+w')\sim (v,w) + (v,w')\),
\((v+v',w)\sim (v,w)+(v',w)\)
per ogni $v,v'\in V, w,w'\in W, a\in k$. Gli elementi del quoziente \(V\otimes W := k^{(V\times W)}\big/\sim\) vengono scritti come $v\otimes w$; anzi, piu' precisamente come somme finite \(\sum_{i=1}^n v_i\otimes w_i\) al variare di \(n\in\mathbb N\) e di vettori \(v_i\in V, w_i\in W\). Orbene, le richieste che hai fatto sopra facendo il quoziente ti implicano le relazioni di "bilinarita`" per l'operazione di tensore:
\(av\otimes w = v\otimes aw\)
\(v\otimes(w+w') = v\otimes w + v\otimes w'\)
etc. Queste relazioni implicano a loro volta che un generico monomio $v\otimes w$, scelte delle basi \(\{e_i\}\) ed \(\{f_j\} \) rispettivamente su $V$ e $W$, si possa scrivere come una somma
\[
v\otimes w = \sum_i(\alpha_i e_i) \otimes \sum_j(\beta_j f_j) = \sum_{i,j}\alpha_i\beta_j (e_i\otimes f_j)
\]Ora facciamolo in geometria differenziale. Le strutture che puoi definire sugli spazi vettoriali (somma diretta, prodotto tensore, passaggio al duale, potenza esterna,...) si trasportano a definizioni "fiberwise" tra i fibrati che hanno per fibre quegli spazi. Questo e' un fatto generale su cui ti invito a riflettere.
Particolarizza questo caso a quello in cui $V$ e' lo spazio tangente ad una varieta' $M$ e $W$ quello cotangente (in uno stesso punto $p$). La tua forma differenziale si scrivera' come $u_i dx_i$ dove $dx_i$ e' la base del cotangente data dai differenziali di una carta locale in $p$. Il campo vettoriale invece si scrivera' come $z_j \frac{\partial}{\partial x_i}$, dove $\frac{\partial}{\partial x_i}$ e' la base sul tangente, anche lei data dalla carta scelta.
Sulla falsariga di quello che ti ho scritto prima con le sommatorie, fai tu il conto: per maggiori informazioni, tutto cio' che ho detto e' espresso meglio qua dentro
Ti ringrazio infinitamente!!! Mi hai dato delle notevoli delucidazioni circa tale argomento e hai ampliato considerevolmente quella che era la mia conoscenza, assai limitata, del prodotto tensoriale. Però vorrei porti ancora una domanda se mi è lecito: nel mio caso giungo a scrivere in coordinate
\(\displaystyle \eta \otimes \ \xi= \sum_{i,j} z_ju_i (dx_i\otimes \frac{\partial}{\partial x_i}) \), seguendo la notazione da te usata. Applicando questo prodotto tensore a un campo vettoriale \(\displaystyle X\in \mathfrak{X}(M) \) cosa dovrei ottenere quindi?
\(\displaystyle \eta \otimes \ \xi= \sum_{i,j} z_ju_i (dx_i\otimes \frac{\partial}{\partial x_i}) \), seguendo la notazione da te usata. Applicando questo prodotto tensore a un campo vettoriale \(\displaystyle X\in \mathfrak{X}(M) \) cosa dovrei ottenere quindi?
Riflettendo ulteriormente... Dalla definizione, a mio avviso, \(\displaystyle \eta \otimes \xi \) dovrebbe essere un tensore covariante del secondo ordine. Invece viene usato come un tensore di tipo (1,1). E' possibile che abbiano operato una contrazione?
Perchè se così fosse significherebbe che l'autore ha identificato un tensore di tipo (0,2) con uno di tipo (1,1), ma io non sono mai stato a conoscenza del fatto che la contrazione fosse un isomorfismo, ammesso che lo sia ovviamente.
Perchè se così fosse significherebbe che l'autore ha identificato un tensore di tipo (0,2) con uno di tipo (1,1), ma io non sono mai stato a conoscenza del fatto che la contrazione fosse un isomorfismo, ammesso che lo sia ovviamente.
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