Prodotto scalare tra vettori
Presi $AAu,vinR^n$ -> $uv-=u_1v_1+u_2v_2+...u_nv_n=\sum_(i=1)^n(u_iv_i)$
Ma è vero anche questo ?
$uv=cos(uv)*|u||v|$
Grazie
Ma è vero anche questo ?
$uv=cos(uv)*|u||v|$
Grazie
Risposte
Si in generale è questa la definizione di prodotto scalare
No aspetta.
La definizione di prodotto scalare è:
Sia $V$ un $K$ spazio e $varphi$ una forma bilineare $varphi:VtimesV->K$
Diremo che $varphi$ è un prodotto scalare se è simmetrica è definita positiva.
Alternativamente puoi dire che un prodotto scalare è una qualsiasi forma bilineare simmetrica definita positiva.
Quello che hai definito tu viene chiamato 'prodotto scalare standard'
La definizione di prodotto scalare è:
Sia $V$ un $K$ spazio e $varphi$ una forma bilineare $varphi:VtimesV->K$
Diremo che $varphi$ è un prodotto scalare se è simmetrica è definita positiva.
Alternativamente puoi dire che un prodotto scalare è una qualsiasi forma bilineare simmetrica definita positiva.
Quello che hai definito tu viene chiamato 'prodotto scalare standard'
Cosa significa forma biliare? V e K si intende spazi $R^n$ ?
Non ho ben capito alla fine qual è la differenza tra i due prodotti scalari.
Non ho ben capito alla fine qual è la differenza tra i due prodotti scalari.
La definizione di prodotto scalare è ("standard" come l'hai definita tu) $uv=|u||v|cos(uv)$
In algebra questa definizione viene generalizzata, perchè passiamo da prodotto scalare nello spazio euclideo a prodotto scalare nello spazio vettoriale. Ed è poi qui la definizione che hai dato tu. Ma comunque hanno validità entrambe. Poi non so in riferimento a cosa ti serva a te
In algebra questa definizione viene generalizzata, perchè passiamo da prodotto scalare nello spazio euclideo a prodotto scalare nello spazio vettoriale. Ed è poi qui la definizione che hai dato tu. Ma comunque hanno validità entrambe. Poi non so in riferimento a cosa ti serva a te
Per cosa sia una forma bilineare basta farsi un'idea su Wikipedia.
Puoi anche cercare 'funzioni multilineari' e notare che sono un caso particolare di esse.
$V$ in generale è uno spazio vettoriale. Se poi parliamo che ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ sia isomorfo a $K^n$ allora si.
inoltre $K$ può essere visto sia come campo che come spazio vettoriale.
Aggiungo qualcosa a quanto scritto da Vicia.
Dato $V$ spazio vettoriale. Diremo che $(V;varphi)$ ha una struttura di spazio euclideo se $V$ è uno spazio vettoriale reale(complesso) e $varphi$ un prodotto scalare(hermitiano).
Naturalmente la profondità di questi oggetti sta nel fatto che piano piano si va costruendo una teoria formale per la geometria totalmente distaccata da ciò che fosse la geometria elementare.
Di fatto quello di cui parli tu, il prodotto scalare standard, è di fondamentale importanza.
Esso permette di definire la funzione norma a cui associamo il concetto di 'lunghezza di un vettore'
Infatti la norma è definita come $||v||=sqrt()$
Dove $<,>$ è il prodotto scalare standard. Inoltre se $B={e_1,...,e_n}$ è una base ortonormale per $V$(che esiste) e $v=sum_(j=1)^(n)x_je_j$, allora la norma diventa esattamente $||v||=sqrt(x_(1)^(2)+...+x_(n)^2)$
Per quanto riguarda l'altra questione ti occorre sapere che si definisce 'angolo convesso' tra due vettori $v,w$ il numero:
$vartheta=arccos(()/(||v|| ||w||))$
Di fatto la disuguaglianza di cauchy/schwartz mostra che la quantità dentro l'argomento è in valore assoluto minore di $1$
Ovvero che $^2leq||v|| ||w||$
Da questo si ottiene un prodotto scalare definito nel modo seguente
$ =||v|| ||w|| cos(vartheta)$
Nota che con solo le forme bilineari si può definire un concetto di lunghezza, di angolo tra vettori e quindi di ortogonalitá(perpendicolarità). Si può parlare di distanze. Diciamo che lo spazio euclideo è l'ambiente perfetto per parlare di geometria affine.
Ti ho scritto tutte queste cose perché sono più o meno quelle che precedono quanto ti interessa.
Puoi anche cercare 'funzioni multilineari' e notare che sono un caso particolare di esse.
$V$ in generale è uno spazio vettoriale. Se poi parliamo che ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ sia isomorfo a $K^n$ allora si.
inoltre $K$ può essere visto sia come campo che come spazio vettoriale.
Aggiungo qualcosa a quanto scritto da Vicia.
Dato $V$ spazio vettoriale. Diremo che $(V;varphi)$ ha una struttura di spazio euclideo se $V$ è uno spazio vettoriale reale(complesso) e $varphi$ un prodotto scalare(hermitiano).
Naturalmente la profondità di questi oggetti sta nel fatto che piano piano si va costruendo una teoria formale per la geometria totalmente distaccata da ciò che fosse la geometria elementare.
Di fatto quello di cui parli tu, il prodotto scalare standard, è di fondamentale importanza.
Esso permette di definire la funzione norma a cui associamo il concetto di 'lunghezza di un vettore'
Infatti la norma è definita come $||v||=sqrt(
Dove $<,>$ è il prodotto scalare standard. Inoltre se $B={e_1,...,e_n}$ è una base ortonormale per $V$(che esiste) e $v=sum_(j=1)^(n)x_je_j$, allora la norma diventa esattamente $||v||=sqrt(x_(1)^(2)+...+x_(n)^2)$
Per quanto riguarda l'altra questione ti occorre sapere che si definisce 'angolo convesso' tra due vettori $v,w$ il numero:
$vartheta=arccos((
Di fatto la disuguaglianza di cauchy/schwartz mostra che la quantità dentro l'argomento è in valore assoluto minore di $1$
Ovvero che $
Da questo si ottiene un prodotto scalare definito nel modo seguente
$
Nota che con solo le forme bilineari si può definire un concetto di lunghezza, di angolo tra vettori e quindi di ortogonalitá(perpendicolarità). Si può parlare di distanze. Diciamo che lo spazio euclideo è l'ambiente perfetto per parlare di geometria affine.
Ti ho scritto tutte queste cose perché sono più o meno quelle che precedono quanto ti interessa.
Sto iniziando a studiare algebra lineare adesso e tutta questa terminologia e concetti per me sono del tutto estranei...
Il primo approccio all'algebra lineare destabilizza sempre un po', ma appena inizierai a fare esercizi e ad entrare nel mondo dell'algebra credimi che sarà molto più semplice e tutto inizierà a prendere forma 
"Vicia":
La definizione di prodotto scalare è ("standard" come l'hai definita tu) $uv=|u||v|cos(uv)$
In algebra questa definizione viene generalizzata, perchè passiamo da prodotto scalare nello spazio euclideo a prodotto scalare nello spazio vettoriale. Ed è poi qui la definizione che hai dato tu. Ma comunque hanno validità entrambe. Poi non so in riferimento a cosa ti serva a te
Sono d'accordo con questo punto di vista, ho solo una preoccupazione sulla notazione, io scriverei
\[
u\cdot v = |u| |v| \cos(\hat{uv}), \]
dove \(\cdot\) indica il prodotto scalare, \(|u|, |v|\ indicano lunghezza dei vettori, \(\hat{uv}\) indica l'angolo convesso (ovvero, compreso tra \(0\) e \(\pi\) ) tra \(u\) e \(v\).
Il discorso che fa anto_zoolander è quello dell'algebra moderna che astrae e generalizza questa "definizione". Ho scritto tra virgolette perché, andando avanti nello studio, uno si accorge che a livello formale qui manca qualcosa: abbiamo parlato di angoli e lunghezze, ma come sono definiti angoli e lunghezze? In geometria elementare si dà una definizione intuitiva e già con quella si può fare parecchia matematica, ma arriva un momento in cui uno ha bisogno di un punto di vista più rigoroso. È allora che interviene il discorso di anto_zoolander: uno definisce il prodotto scalare per via algebrica e poi definisce angoli e lunghezze in termini del prodotto scalare.
Ma di questo, per il momento, l'OP non deve preoccuparsi.
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