Prodotto scalare tra funzioni
Si considerino le funzioni continue nell'intervallo $[-pi,pi]$ e si definisca per due di queste funzioni il prodotto scalare il numero
$\int_{-pi}^{pi} f(x)*g(x)* dx$
Provare che, se $m$ ed $n$ $in$ $ZZ$, le funzioni $sin nx$ e $cos mx$ sono ortogonali rispetto a tale prodotto scalare.
Prima di tutto cerco la primitiva di $sin nx *cos mx$ in $dx$, ho pensato di integrare per parti
$\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m - n/m\int cosnx*sin mx*dx$
quindi integro di nuovo per parti $\int cosnx*sin mx*dx$
$\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m - n/m(-cosnx*(cosmx)/m - n/m\intsinnx*cosmx*dx)$
$\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx + n^2/m^2\intsinnx*cosmx*dx$
$\int sin nx*cos mx* dx- n^2/m^2\intsinnx*cosmx*dx=sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx $
$(1-n^2/m^2)*\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx$
$\int sin nx*cos mx* dx=(sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx)/(1-n^2/m^2) $
$\int sin nx*cos mx* dx=(m*sin nx*sin mx + n*cosnx*cosmx)/(m^2-n^2) + C=\phi(x) $
Tornando al nostro integrale definito ovviamente si ha
$\int_{-pi}^{pi} sin nx*cos mx* dx=\phi(pi) - \phi(-pi)$
$\phi(pi)=\phi(-pi)=\pm n/(m^2-n^2) + C$ (essendo il seno di multipli interi di $pi$ pari a zero e il coseno una funzione pari) e quindi
$\int_{-pi}^{pi} sin nx*cos mx* dx=0$
quindi per la definizione di ortogonalità e il prodotto scalare così definite le due funzioni risultano ortogonali.
Quindi le mie domande:
1) è giusto?
se sì (dovrebbe essere sì perchè provando a derivare ritrovo la funzione iniziale ma non si sa mai...), c'era una strada più veloce per trovare la primitiva? Considerato come già detto che il seno di multipli interi di $pi$ è pari a zero e il coseno è una funzione pari potevo già dire ,senza trovare la primitiva ,che quell'integrale definito sarebbe risultato pari a zero? Non credo perchè nella primitiva avrebbero potuto esserci altre funzioni di $x$, o magari c'era qualcosa che a priori poteva escludermelo?
se non è giusto, ovviamente
...
grazie dell'attenzione
$\int_{-pi}^{pi} f(x)*g(x)* dx$
Provare che, se $m$ ed $n$ $in$ $ZZ$, le funzioni $sin nx$ e $cos mx$ sono ortogonali rispetto a tale prodotto scalare.
Prima di tutto cerco la primitiva di $sin nx *cos mx$ in $dx$, ho pensato di integrare per parti
$\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m - n/m\int cosnx*sin mx*dx$
quindi integro di nuovo per parti $\int cosnx*sin mx*dx$
$\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m - n/m(-cosnx*(cosmx)/m - n/m\intsinnx*cosmx*dx)$
$\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx + n^2/m^2\intsinnx*cosmx*dx$
$\int sin nx*cos mx* dx- n^2/m^2\intsinnx*cosmx*dx=sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx $
$(1-n^2/m^2)*\int sin nx*cos mx* dx=sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx$
$\int sin nx*cos mx* dx=(sin nx*(sin mx)/m + n/m^2*cosnx*cosmx)/(1-n^2/m^2) $
$\int sin nx*cos mx* dx=(m*sin nx*sin mx + n*cosnx*cosmx)/(m^2-n^2) + C=\phi(x) $
Tornando al nostro integrale definito ovviamente si ha
$\int_{-pi}^{pi} sin nx*cos mx* dx=\phi(pi) - \phi(-pi)$
$\phi(pi)=\phi(-pi)=\pm n/(m^2-n^2) + C$ (essendo il seno di multipli interi di $pi$ pari a zero e il coseno una funzione pari) e quindi
$\int_{-pi}^{pi} sin nx*cos mx* dx=0$
quindi per la definizione di ortogonalità e il prodotto scalare così definite le due funzioni risultano ortogonali.
Quindi le mie domande:
1) è giusto?
se sì (dovrebbe essere sì perchè provando a derivare ritrovo la funzione iniziale ma non si sa mai...), c'era una strada più veloce per trovare la primitiva? Considerato come già detto che il seno di multipli interi di $pi$ è pari a zero e il coseno è una funzione pari potevo già dire ,senza trovare la primitiva ,che quell'integrale definito sarebbe risultato pari a zero? Non credo perchè nella primitiva avrebbero potuto esserci altre funzioni di $x$, o magari c'era qualcosa che a priori poteva escludermelo?
se non è giusto, ovviamente
...grazie dell'attenzione
Risposte
"strangolatoremancino":
Considerato come già detto che il seno di multipli interi di $pi$ è pari a zero e il coseno è una funzione pari potevo già dire ,senza trovare la primitiva ,che quell'integrale definito sarebbe risultato pari a zero? Non credo perchè nella primitiva avrebbero potuto esserci altre funzioni di $x$, o magari c'era qualcosa che a priori poteva escludermelo
Separa l'integrale nei due contributi $\int_{-a}^{+a}f(x)g(x)dx = \int_{-a}^{0}f(x)g(x)dx + \int_{0}^{+a}f(x)g(x)dx$.
Nel primo integrale fai la sostituzione $x \to -x$ per cui $\int_{-a}^{0}f(x)g(x)dx = -\int_{a}^{0}f(-x)g(-x)dx = \int_{0}^{a}f(-x)g(-x)dx$.
A questo punto sfrutta il fatto che le funzioni sono pari e dispari per ottenere $\int_{0}^{a}f(-x)g(-x)dx = -\int_{0}^{a}f(x)g(x)dx$.
Metti insieme questi risultati per concludere che $\int_{-a}^{+a}f(x)g(x)dx = 0$.
Comunque per calcolare la primitiva puoi usare l'identità $\sin(mx)\cos(nx) = 1/2(\sin[(m+n)x] + \sin[(m-n)x])$ (che personalmente non ricordo mai, ma sapendo come si scrivono seni e coseni in termini di esponenziali complessi si ricava velocemente).
Ok grazie mille 
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