Prodotto scalare standard
Ciao 
stavo un po' dietro alle forme bilineari e ho cominciato a dannarmi la vita inutilmente usando basi non canoniche.
Tipo definisco:
$phi:VtimesV->RR$ con $B={e_1,...,e_n}$
$phi(v,w)=x_1y_1+...+x_ny_n$
Ora se $B$ è la base canonica, risulta essere ortonormale per il prodotto scalare standard.
Mentre se la base non è canonica sappiamo solo che i vettori sono tra loro ortogonali.
Di fatto $e_j=0e_1+...+e_j+...+0e_n,forallj=1...n$
e se $jnek, phi(e_j,e_k)=0$ mentre $phi(e_j,e_j)=a_(jj) forallj=1...n$
Ora la norma di un vettore si definisce solo per basi ortonormali? La domanda mi è sorta dopo questo esempio che mi sono fatto. Pongo $V=RR^2$ e $B={(1,1),(1,0)}$
Si ottiene che la matrice rappresentativa è $I_2$ (Sempre rispetto al prodotto scalare standard)
Però se calcolo, posto $v=(2,1)$
$||v||=sqrt(((1,1))((1),(1)))=sqrt2$
Ma la norma di questo vettore è davvero $sqrt2$?
Cioè si per definizione è la norma di questo vettore, ma in questo caso possiamo parlare di 'lunghezza'?
Volendo fare un passo in più, passando agli spazi affini scelti $A^2(RR),RR^2$ e come riferimento $R((0,0),B)$ con base uguale a quella precedente.
Ora se pongo di individuare ogni punto dello spazio con le componenti del vettore $OP$ otterei giustamente che il punto $(1,1)$ ha coordinate $(1,0)$ così come il punto $(k,k)$ ha coordinate $(k,0)$ e con qui tutto ok.
Io all'inizio ho posto come base il vettore $(1,1)$, automaticamente viene da pensare che l'asse generato da questo vettore sia la retta $y=x$, ma questo se considerassi ancora prima un sistema ortogonale e poi individuassi il vettore.
Diciamo che la domanda è semplicemente 'si può sviluppare la geometria utilizzando basi a caso?'
Perché nel caso precedente quando ho ottenuto $||v||=sqrt2$ di fatto consideravo $v=e_1+e_2$.
L'unica cosa che mi viene da pensare è che come se cambiando base mantenessi lunghezze ed angoli uguali, cambiando le prospettive, nonostante appetentemebte le lunghezze sembrino cambiare.
stavo un po' dietro alle forme bilineari e ho cominciato a dannarmi la vita inutilmente usando basi non canoniche.
Tipo definisco:
$phi:VtimesV->RR$ con $B={e_1,...,e_n}$
$phi(v,w)=x_1y_1+...+x_ny_n$
Ora se $B$ è la base canonica, risulta essere ortonormale per il prodotto scalare standard.
Mentre se la base non è canonica sappiamo solo che i vettori sono tra loro ortogonali.
Di fatto $e_j=0e_1+...+e_j+...+0e_n,forallj=1...n$
e se $jnek, phi(e_j,e_k)=0$ mentre $phi(e_j,e_j)=a_(jj) forallj=1...n$
Ora la norma di un vettore si definisce solo per basi ortonormali? La domanda mi è sorta dopo questo esempio che mi sono fatto. Pongo $V=RR^2$ e $B={(1,1),(1,0)}$
Si ottiene che la matrice rappresentativa è $I_2$ (Sempre rispetto al prodotto scalare standard)
Però se calcolo, posto $v=(2,1)$
$||v||=sqrt(((1,1))((1),(1)))=sqrt2$
Ma la norma di questo vettore è davvero $sqrt2$?
Cioè si per definizione è la norma di questo vettore, ma in questo caso possiamo parlare di 'lunghezza'?
Volendo fare un passo in più, passando agli spazi affini scelti $A^2(RR),RR^2$ e come riferimento $R((0,0),B)$ con base uguale a quella precedente.
Ora se pongo di individuare ogni punto dello spazio con le componenti del vettore $OP$ otterei giustamente che il punto $(1,1)$ ha coordinate $(1,0)$ così come il punto $(k,k)$ ha coordinate $(k,0)$ e con qui tutto ok.
Io all'inizio ho posto come base il vettore $(1,1)$, automaticamente viene da pensare che l'asse generato da questo vettore sia la retta $y=x$, ma questo se considerassi ancora prima un sistema ortogonale e poi individuassi il vettore.
Diciamo che la domanda è semplicemente 'si può sviluppare la geometria utilizzando basi a caso?'
Perché nel caso precedente quando ho ottenuto $||v||=sqrt2$ di fatto consideravo $v=e_1+e_2$.
L'unica cosa che mi viene da pensare è che come se cambiando base mantenessi lunghezze ed angoli uguali, cambiando le prospettive, nonostante appetentemebte le lunghezze sembrino cambiare.
Risposte
Ciao,
Magari!
Se $j != k$ allora $\phi(e_j, e_k)$ non è necessariamente uguale a $0$, per esempio la base che usi dopo ${e_1+e_2, e_1}$ non è ortogonale per il prodotto scalare standard, infatti $\phi(e_1 + e_2, e_1) = \phi(e_1, e_1) = 1$
Per quanto ne so la norma di un vettore si definisce quando hai un prodotto scalare definito positivo su uno spazio reale oppure quando hai un prodotto hermitiano def. positivo su uno spazio complesso, quindi la definizione dipende solo dalla segnatura del prodotto scalare/hermitiano e non dalla base scelta.
Poi chiaramente un prodotto scalare è definito positivo se e solo se ammette una base ortonormale, quindi in un certo senso se non esiste una base ortonormale per il prodotto scalare allora puoi scordarti la norma, ma penso che il punto in questione sia un altro: se il prodotto è definito positivo la norma funziona su qualsiasi base tu scelga, perché la scelta di una base non cambia il risultato del prodotto scalare.
Il risultato è sbagliato perché la matrice rappresentativa del ps rispetto alla base che usi non è $I_2$ ma $( (2, 1), (1, 1))$
questa parte non l'ho capita molto bene.
Certo che puoi fare geometria utilizzando basi a caso, è questo il bello!
In realtà molti concetti che vengono definiti in un corso di algebra lineare sono indipendenti dal concetto di base: i vettori stessi, le applicazioni lineari, i prodotti scalari... poi se si deve usare una base se ne sceglie una bella in cui fare i conti(basi di Jordan, basi ortogonali, basi ortonormali, basi ortogonali normalizzate, basi spettrali, etc)
No, consideravi $v = (2, 1)$ che è diverso dalle sue coordinate!
Se cambi base il prodotto scalare si conserva, perché il prodotto rimane sempre lo stesso. E' diverso il discorso quando hai un prodotto scalare, un'applicazione lineare $f: V \to V$ e ti chiedi se $\forall v, w \in V \phi(v, w) = \phi(f(v), f(w))$, ma quando cambi base fai sempre $\phi(v, w)$ solo che per i conti usi matrici e coordinate diverse(che non ne alterano il risultato)!
Non so se mi sono spiegato.
"anto_zoolander":
Tipo definisco:
$ phi:VtimesV->RR $ con $ B={e_1,...,e_n} $
$ phi(v,w)=x_1y_1+...+x_ny_n $
Ora se $ B $ è la base canonica, risulta essere ortonormale per il prodotto scalare standard.
Mentre se la base non è canonica sappiamo solo che i vettori sono tra loro ortogonali.
Magari!
Se $j != k$ allora $\phi(e_j, e_k)$ non è necessariamente uguale a $0$, per esempio la base che usi dopo ${e_1+e_2, e_1}$ non è ortogonale per il prodotto scalare standard, infatti $\phi(e_1 + e_2, e_1) = \phi(e_1, e_1) = 1$
Ora la norma di un vettore si definisce solo per basi ortonormali? La domanda mi è sorta dopo questo esempio che mi sono fatto. Pongo $ V=RR^2 $ e $ B={(1,1),(1,0)} $
Per quanto ne so la norma di un vettore si definisce quando hai un prodotto scalare definito positivo su uno spazio reale oppure quando hai un prodotto hermitiano def. positivo su uno spazio complesso, quindi la definizione dipende solo dalla segnatura del prodotto scalare/hermitiano e non dalla base scelta.
Poi chiaramente un prodotto scalare è definito positivo se e solo se ammette una base ortonormale, quindi in un certo senso se non esiste una base ortonormale per il prodotto scalare allora puoi scordarti la norma, ma penso che il punto in questione sia un altro: se il prodotto è definito positivo la norma funziona su qualsiasi base tu scelga, perché la scelta di una base non cambia il risultato del prodotto scalare.
Si ottiene che la matrice rappresentativa è $ I_2 $ (Sempre rispetto al prodotto scalare standard)
Però se calcolo, posto $ v=(2,1) $
$ ||v||=sqrt(((1,1))((1),(1)))=sqrt2 $
Ma la norma di questo vettore è davvero $ sqrt2 $?
Il risultato è sbagliato perché la matrice rappresentativa del ps rispetto alla base che usi non è $I_2$ ma $( (2, 1), (1, 1))$
Volendo fare un passo in più, passando agli spazi affini scelti $ A^2(RR),RR^2 $ e come riferimento $ R((0,0),B) $ con base uguale a quella precedente.
Ora se pongo di individuare ogni punto dello spazio con le componenti del vettore $ OP $ otterei giustamente che il punto $ (1,1) $ ha coordinate $ (1,0) $ così come il punto $ (k,k) $ ha coordinate $ (k,0) $ e con qui tutto ok.
Io all'inizio ho posto come base il vettore $ (1,1) $, automaticamente viene da pensare che l'asse generato da questo vettore sia la retta $ y=x $, ma questo se considerassi ancora prima un sistema ortogonale e poi individuassi il vettore.
questa parte non l'ho capita molto bene.
Diciamo che la domanda è semplicemente 'si può sviluppare la geometria utilizzando basi a caso?'
Certo che puoi fare geometria utilizzando basi a caso, è questo il bello!
In realtà molti concetti che vengono definiti in un corso di algebra lineare sono indipendenti dal concetto di base: i vettori stessi, le applicazioni lineari, i prodotti scalari... poi se si deve usare una base se ne sceglie una bella in cui fare i conti(basi di Jordan, basi ortogonali, basi ortonormali, basi ortogonali normalizzate, basi spettrali, etc)
Perché nel caso precedente quando ho ottenuto $ ||v||=sqrt2 $ di fatto consideravo $ v=e_1+e_2 $.
No, consideravi $v = (2, 1)$ che è diverso dalle sue coordinate!
L'unica cosa che mi viene da pensare è che come se cambiando base mantenessi lunghezze ed angoli uguali, cambiando le prospettive, nonostante appetentemebte le lunghezze sembrino cambiare.
Se cambi base il prodotto scalare si conserva, perché il prodotto rimane sempre lo stesso. E' diverso il discorso quando hai un prodotto scalare, un'applicazione lineare $f: V \to V$ e ti chiedi se $\forall v, w \in V \phi(v, w) = \phi(f(v), f(w))$, ma quando cambi base fai sempre $\phi(v, w)$ solo che per i conti usi matrici e coordinate diverse(che non ne alterano il risultato)!
Non so se mi sono spiegato.
Ciao shocker grazie come sempre
Allora devo dire che sulla matrice rappresentativa qualche dubbio l'ho avuto, però:
Considerando $v=(1,1)$ ho $v=1e_1+0e_2$ e quindi avrei $phi(v,v)=1$ no?
Devo sempre considerare che $x_1,x_2,y_1,y_2$ sono le componenti dei vettori $v,w$ rispetto alla base che abbiamo posto.
Infatti pensavo proprio al fatto che il prodotto scalare, o comunque una qualsiasi forma bilineare si conservi per congruenza e quindi per rappresentazioni su basi diverse.
Ti spiego meglio l'altra questione: se io prendo due vettori e mi pongo come base di un sistema di riferimento, la domanda che sorge spontanea è: come dispongo le rette generate dai vettori? Per esempio la retta generata dal vettore (1,1) se prendiamo il caso del piano ordinario, è la bisettrice. Ma se proprio volessi considerare lei come asse?
A meno che risultando ortogonali rispetto a quel prodotto scalare, di fatto, non vadano messi perpendicolarmente.
Allora devo dire che sulla matrice rappresentativa qualche dubbio l'ho avuto, però:
Considerando $v=(1,1)$ ho $v=1e_1+0e_2$ e quindi avrei $phi(v,v)=1$ no?
Devo sempre considerare che $x_1,x_2,y_1,y_2$ sono le componenti dei vettori $v,w$ rispetto alla base che abbiamo posto.
Infatti pensavo proprio al fatto che il prodotto scalare, o comunque una qualsiasi forma bilineare si conservi per congruenza e quindi per rappresentazioni su basi diverse.
Ti spiego meglio l'altra questione: se io prendo due vettori e mi pongo come base di un sistema di riferimento, la domanda che sorge spontanea è: come dispongo le rette generate dai vettori? Per esempio la retta generata dal vettore (1,1) se prendiamo il caso del piano ordinario, è la bisettrice. Ma se proprio volessi considerare lei come asse?
A meno che risultando ortogonali rispetto a quel prodotto scalare, di fatto, non vadano messi perpendicolarmente.
"anto_zoolander":
Ciao shocker grazie come sempre
Allora devo dire che sulla matrice rappresentativa qualche dubbio l'ho avuto, però:
Considerando $v=(1,1)$ ho $v=1e_1+0e_2$ e quindi avrei $phi(v,v)=1$ no?
Devo sempre considerare che $x_1,x_2,y_1,y_2$ sono le componenti dei vettori $v,w$ rispetto alla base che abbiamo posto.
No, aspetta. Il prodotto scalare tu l'hai definito su $\mathbb{R^n}$ in questo modo: $v = (x_1, ..., x_n), w = (y_1, ..., y_n)$ allora $\phi(v, w) = \sum_{i=1}^n x_iy_i$, questa è una definizione che hai fatto sui vettori dello spazio, non sulle coordinate!
Nella base canonica la definizione di $\phi$ coincide con il conto che fatto direttamente sulle coordinate per due motivi: $1$ in canonica i vettori delle coordinate hanno le componenti uguali ai vettori di $\mathbb{R^n}$ e $2$ la canonica è ortonormale per $\phi$.
Ora se $B = {(1, 1), (1, 0)}$ hai che $v = 1*(1, 1) + 0*(1, 0)$ e quindi $\phi(v, v) = \phi( \(1, 1)\, \(1, 1)\ ) = 2$(sfruttando la definizione di $\phi$) che è uguale a $(1, 0) ( (2, 1), (1, 1) ) ( (1), (0))$ (usando la matrice associata a $\phi$ rispetto a $B$, nota che $(1, 0)$ sono le coordinate di $v$ rispetto a $B$).
ALlora ho sbagliato a definire.
Il prodotto scalare volevo definirlo per le componenti rispetto alla base fissata, non alle componenti proprie del vettore.
Cioè che se $v=x_1e_1+...+x_n e_n$ allora $ phi(v,v)=sum_(j=1)^(n)(x_j)^2$
Il prodotto scalare volevo definirlo per le componenti rispetto alla base fissata, non alle componenti proprie del vettore.
Cioè che se $v=x_1e_1+...+x_n e_n$ allora $ phi(v,v)=sum_(j=1)^(n)(x_j)^2$
"anto_zoolander":
ALlora ho sbagliato a definire.
Il prodotto scalare volevo definirlo per le componenti rispetto alla base fissata, non alle componenti proprie del vettore.
Cioè che se $v=x_1e_1+...+x_n e_n$ allora $ phi(v,v)=sum_(j=1)^(n)(x_j)^2$
Ma così dipende troppo dalla base scelta!
Non ci fai nulla perché cambiando base cambia il risultato
Si esatto.
Però dico il ragionamento è corretto no? Questo è quello che mi interessa
Poi ovviamente definirlo direttamente sul vettore è meglio.
Più che altro usando così sembra quasi che siano tutte cose uguali.
Però dico il ragionamento è corretto no? Questo è quello che mi interessa
Poi ovviamente definirlo direttamente sul vettore è meglio.
Più che altro usando così sembra quasi che siano tutte cose uguali.
Mh, forse ho frainteso questa tua domanda:
Se per sviluppare intendi ricavare gli stessi risultati di algebra lineare/geometria avendo fisso uno e uno solo riferimento allora la risposta non la so, o meglio, un'idea me la sono fatta: se fissi una base a caso e vuoi tenerla come riferimento "assoluto" allora molte cose fatte in algebra lineare perdono senso perché il cambio di base non lo usi(se ho capito bene), comunque dovresti riuscire a fare geometria lo stesso, anche se sarà un po' troppo "rigida".
Il punto è che non mi sembra una buona definizione... cioè se per ogni $B = { v_1, ..., v_n}$ base hai che $\phi(v, v) = \sum ([v]_B)^2$(coordinate al quadrato) allora non è affatto una buona definizione perché il risultato cambia a seconda della base
, ma il prodotto lavora sui vettori(e' definito su $V xx V$) quindi il risultato DEVE essere lo stesso IN OGNI BASE(insomma non posso permettermi di dare più di un valore a $\phi(v, v)$!), è questo che io intendo con "l'essere indipendente dalla base", chiaramente cambiando base il calcolo/la matrice rappresentativa/la formula chiusa(?) del prodotto scalare cambia(in questo senso il prodotto dipende dalla base, nel senso che la sua forma cambia ma i suoi valori no).
Perché non tieni conto del cambio di base.
"anto_zoolander":
Diciamo che la domanda è semplicemente 'si può sviluppare la geometria utilizzando basi a caso?'
Se per sviluppare intendi ricavare gli stessi risultati di algebra lineare/geometria avendo fisso uno e uno solo riferimento allora la risposta non la so, o meglio, un'idea me la sono fatta: se fissi una base a caso e vuoi tenerla come riferimento "assoluto" allora molte cose fatte in algebra lineare perdono senso perché il cambio di base non lo usi(se ho capito bene), comunque dovresti riuscire a fare geometria lo stesso, anche se sarà un po' troppo "rigida".
"anto_zoolander":
Si esatto.
Però dico il ragionamento è corretto no? Questo è quello che mi interessa
Il punto è che non mi sembra una buona definizione... cioè se per ogni $B = { v_1, ..., v_n}$ base hai che $\phi(v, v) = \sum ([v]_B)^2$(coordinate al quadrato) allora non è affatto una buona definizione perché il risultato cambia a seconda della base
, ma il prodotto lavora sui vettori(e' definito su $V xx V$) quindi il risultato DEVE essere lo stesso IN OGNI BASE(insomma non posso permettermi di dare più di un valore a $\phi(v, v)$!), è questo che io intendo con "l'essere indipendente dalla base", chiaramente cambiando base il calcolo/la matrice rappresentativa/la formula chiusa(?) del prodotto scalare cambia(in questo senso il prodotto dipende dalla base, nel senso che la sua forma cambia ma i suoi valori no).
Più che altro usando così sembra quasi che siano tutte cose uguali.
Perché non tieni conto del cambio di base.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo