Prodotto scalare: equivalenza di formulazioni
Proabilmente si tratta di un problema stupido, solo che non ne vedo la soluzione.
Ho incontrato due differenti definizioni di prodotto scalare, ma non riesco a dimostrarne l'equivalenza. Entrambe vi saranno di sicuro arcinote: la prima è la somma dei prodotti delle singole componenti, la seconda il prodotto delle norme dei vettori per il coseno dell'angolo formato dai due vettori stessi.
Ora, limitandomi anche ad $RR^2$, non riesco a far vedere che $x_1*y_1+x_2*y_2=sqrt(x_1^2+x_2^2)*sqrt(y_1^2+y_2^2)*cos(\theta)$
Sto sbagliando approccio? C'è secondo voi un modo di "visualizzare" quest'equivalenza?
Ho incontrato due differenti definizioni di prodotto scalare, ma non riesco a dimostrarne l'equivalenza. Entrambe vi saranno di sicuro arcinote: la prima è la somma dei prodotti delle singole componenti, la seconda il prodotto delle norme dei vettori per il coseno dell'angolo formato dai due vettori stessi.
Ora, limitandomi anche ad $RR^2$, non riesco a far vedere che $x_1*y_1+x_2*y_2=sqrt(x_1^2+x_2^2)*sqrt(y_1^2+y_2^2)*cos(\theta)$
Sto sbagliando approccio? C'è secondo voi un modo di "visualizzare" quest'equivalenza?
Risposte
Pure io ho avuto questo stesso problema, tempo fa. In effetti il guaio è che prima di tutto bisogna chiarire che cosa si intende per coseno, e che cosa si intende per angolo. Se non si formalizzano a dovere questi concetti non si va da nessuna parte.
Dunque, definizione. Una buona definizione di seno e coseno reali mi pare questa: seno e coseno sono quelle funzioni reali, tali che $sin(0)=0, cos(0)=1$ e $(sin)'=cos, (cos)'=-sin$. Si dimostra che queste due funzioni sono univocamente determinate, e che godono di queste proprietà fondamentali:
$sin^2x+cos^2x=1$; $sin$ è dispari, $cos$ è pari; valgono le formule di addizione $sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny, cos(x+y)=sinxsiny-cosxcosy$.
Tutto il resto discende da qui. (Queste sono cose che probabilmente sai già ma le scrivo lo stesso. Quando ho studiato io queste cose, non avevo chiara questa definizione e ho perso un mucchio di tempo ragionando in termini di "rapporto tra cateto e ipotenusa". Meglio quindi mettere subito tutto in chiaro).
Ora osserviamo che la funzione $cos$ è continua e che assume tutti i valori compresi tra $[-1, 1]$. (Segue dalla definizione di sopra). Inoltre per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz $|x_1x_2+y_1y_2|<=sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2)$, da cui $|x_1x_2+y_1y_2|/(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))<=1$ a patto che $(x_1, y_1), (x_2, y_2)!=0$.
Con questa osservazione definiamo il concetto di "angolo convesso" come quell'unico $theta\in[0, pi]$ (intervallo di monotonia del coseno) tale che $costheta= (x_1x_2+y_1y_2)/(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))$. La definizione è ben posta per le proprietà del coseno.
Infine, osserviamo che questa definizione è quella "giusta". Vale infatti il teorema di Carnot, teorema della geometria sintetica che mette in relazione il concetto di lunghezza e quello di angolo. Fine.
Questa (a meno di errorazzi miei) è la maniera corretta di procedere. Non c'è da dimostrare nessuna equivalenza, perché con questa costruzione uno definisce il concetto di angolo convesso, mediante la formula che dicevo sopra e che ripeto: $costheta= (x_1x_2+y_1y_2)/(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))$. Se definiamo così l'angolo, poi è solo un fatto di moltiplicare ambo i membri per $(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))$.
Sono stato un po' prolisso ma spero di essere stato chiaro.
[edit] oops! tutte le formule sono sbagliate! I prodotti non sono della forma $x_1y_1+ x_2y_2$ ma $x_1x_2+y_1y_2$.
[riedit] formule corrette.
Dunque, definizione. Una buona definizione di seno e coseno reali mi pare questa: seno e coseno sono quelle funzioni reali, tali che $sin(0)=0, cos(0)=1$ e $(sin)'=cos, (cos)'=-sin$. Si dimostra che queste due funzioni sono univocamente determinate, e che godono di queste proprietà fondamentali:
$sin^2x+cos^2x=1$; $sin$ è dispari, $cos$ è pari; valgono le formule di addizione $sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny, cos(x+y)=sinxsiny-cosxcosy$.
Tutto il resto discende da qui. (Queste sono cose che probabilmente sai già ma le scrivo lo stesso. Quando ho studiato io queste cose, non avevo chiara questa definizione e ho perso un mucchio di tempo ragionando in termini di "rapporto tra cateto e ipotenusa". Meglio quindi mettere subito tutto in chiaro).
Ora osserviamo che la funzione $cos$ è continua e che assume tutti i valori compresi tra $[-1, 1]$. (Segue dalla definizione di sopra). Inoltre per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz $|x_1x_2+y_1y_2|<=sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2)$, da cui $|x_1x_2+y_1y_2|/(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))<=1$ a patto che $(x_1, y_1), (x_2, y_2)!=0$.
Con questa osservazione definiamo il concetto di "angolo convesso" come quell'unico $theta\in[0, pi]$ (intervallo di monotonia del coseno) tale che $costheta= (x_1x_2+y_1y_2)/(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))$. La definizione è ben posta per le proprietà del coseno.
Infine, osserviamo che questa definizione è quella "giusta". Vale infatti il teorema di Carnot, teorema della geometria sintetica che mette in relazione il concetto di lunghezza e quello di angolo. Fine.
Questa (a meno di errorazzi miei) è la maniera corretta di procedere. Non c'è da dimostrare nessuna equivalenza, perché con questa costruzione uno definisce il concetto di angolo convesso, mediante la formula che dicevo sopra e che ripeto: $costheta= (x_1x_2+y_1y_2)/(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))$. Se definiamo così l'angolo, poi è solo un fatto di moltiplicare ambo i membri per $(sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2))$.
Sono stato un po' prolisso ma spero di essere stato chiaro.
[edit] oops! tutte le formule sono sbagliate! I prodotti non sono della forma $x_1y_1+ x_2y_2$ ma $x_1x_2+y_1y_2$.
[riedit] formule corrette.
puoi provare a disegnare in un piano cartesiano i due vettori confluenti (a partire dall'origine). se chiami $alpha$ l'angolo che il primo vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse, $alpha+theta$ sarà l'angolo formato dal secondo con il semiasse positivo delle ascisse.
se esprimi le componenti attraverso le norme dei due vettori e i seni e coseni degli angoli, viene quell'uguaglianza (ti risparmio le espressioni con i radicali che sono banali, anche se io scambierei i nomi di $x_2$ e $y_1$, e ti mostro come viene $cos(theta)$):
$cosalpha*cos(alpha+theta)+senalpha*sen(alpha+theta)= ... =costheta$
spero si capisca. eventualmente chiedi. ciao.
se esprimi le componenti attraverso le norme dei due vettori e i seni e coseni degli angoli, viene quell'uguaglianza (ti risparmio le espressioni con i radicali che sono banali, anche se io scambierei i nomi di $x_2$ e $y_1$, e ti mostro come viene $cos(theta)$):
$cosalpha*cos(alpha+theta)+senalpha*sen(alpha+theta)= ... =costheta$
spero si capisca. eventualmente chiedi. ciao.
Grazie dell'osservazione su seno e coseno (in effetti, non sapendo più dove sbattere la testa, stavo pensando di ripiegare su rapporto tra cateto ed ipotenusa...). Sei stato molto chiaro. Il procedimento che segui è lo stesso di quello del libro dove sto studiando queste cose, ma ho capito un po' di più.
Ho però ancora un dubbio... si tratta di una cosa stupida, totalmente inutile dal punto di vista pratico... Ma per caso sai come è nato storicamente il concetto di prodotto scalare?? Io ho pensato che sia stato sviluppando prima nell'ambito della fisica e poi sia stato generalizzato in matematica (come ho sempre visto andare queste cose); quindi tentavo di capire se è possibile definire, ad esempio in $RR^2$, il prodotto scalare come $ = sqrt(x_1^2+x_2^2)*sqrt(y_1^2+y_2^2)*cos(\theta)$, dove $\theta$ è l'ordinario angolo formato tra due segmenti (vettori) nel piano, il coseno è quello della geometria, e poi derivare, da questa definizione, l'altra di somma dei prodotti delle componenti...
Non so se si tratta di qualcosa di fattibile o di interessante... se sto buttando via il mio tempo in inutili sofismi, ditemelo pure!
Ho però ancora un dubbio... si tratta di una cosa stupida, totalmente inutile dal punto di vista pratico... Ma per caso sai come è nato storicamente il concetto di prodotto scalare?? Io ho pensato che sia stato sviluppando prima nell'ambito della fisica e poi sia stato generalizzato in matematica (come ho sempre visto andare queste cose); quindi tentavo di capire se è possibile definire, ad esempio in $RR^2$, il prodotto scalare come $
Non so se si tratta di qualcosa di fattibile o di interessante... se sto buttando via il mio tempo in inutili sofismi, ditemelo pure!
Si sicuramente si può fare qualcosa del genere, e anzi probabilmente è a questo che si riferisce adaBTTLS. Io però non lo so come si possa procedere. Perchè o di riffa o di raffa, cos'è un angolo lo dovremo pur dire. E come facciamo senza gli strumenti analitici di cui sopra?
Mi spiego meglio. Tu dici: prendiamo $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ e definiamo l'angolo $theta$ tra questi vettori come nell'ordinaria geometria sintetica. Allora vogliamo verificare che l'applicazione $sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2)costheta$ è un prodotto scalare. E come si fa? Senza una definizione analitica di angolo, dobbiamo procedere per via grafica (intendevi questo, adaBTTLS?). Che non è il massimo del rigore ma sicuramente è un esercizio utile: io però, francamente, non lo saprei fare.
Mi spiego meglio. Tu dici: prendiamo $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ e definiamo l'angolo $theta$ tra questi vettori come nell'ordinaria geometria sintetica. Allora vogliamo verificare che l'applicazione $sqrt(x_1^2+y_1^2)sqrt(x_2^2+y_2^2)costheta$ è un prodotto scalare. E come si fa? Senza una definizione analitica di angolo, dobbiamo procedere per via grafica (intendevi questo, adaBTTLS?). Che non è il massimo del rigore ma sicuramente è un esercizio utile: io però, francamente, non lo saprei fare.
Ok, ada, sono riuscito... Il problema vero è la mia pigrizia (odio mettermi a fare i conti)...
Così, adesso, dovrei avere una panoramica abbastanza completa sul prodotto scalare standard (quello degli spazi euclidei).
Ancora una cosa, se avete la pazienza di ascoltarmi. Consideriamo lo spazio $RR^n$ generico. Esso ha dimensione $n$; presi comunque due vettori linearmente indipendenti, generano un sottospazio di dimensione due, cioè un piano (il termine corretto è iperpiano, giusto?). La domanda è questa: posso (e più che altro, è conveniente?) pensare all'angolo convesso compreso tra questi due vettori come all'angolo sul piano da essi generato?
Sono ancora talmente poco pratico con questi concetti che vi prego di scusarmi se ho detto bestialità da qualche parte...
Così, adesso, dovrei avere una panoramica abbastanza completa sul prodotto scalare standard (quello degli spazi euclidei).
Ancora una cosa, se avete la pazienza di ascoltarmi. Consideriamo lo spazio $RR^n$ generico. Esso ha dimensione $n$; presi comunque due vettori linearmente indipendenti, generano un sottospazio di dimensione due, cioè un piano (il termine corretto è iperpiano, giusto?). La domanda è questa: posso (e più che altro, è conveniente?) pensare all'angolo convesso compreso tra questi due vettori come all'angolo sul piano da essi generato?
Sono ancora talmente poco pratico con questi concetti che vi prego di scusarmi se ho detto bestialità da qualche parte...
@dissonance
Quando ho detto che ci sono riuscito, effettivamente, l'ho fatto al contrario. Cioè, dalla scrittura $x_1*x_2+y_1*y_2$ sono arrivato all'altra, ma solo tramite passaggi algebrici che sfruttano le usuali proprietà trigonometriche e che quindi posso tranquillamente invertire. In sostanza, se ho capito quello che diceva Ada, ho preso per buono il concetto di distanza dall'origine (norma) e sono arrivato al prodotto scalare. Sono d'accordo con te che l'approccio non è proprio rigoroso... tuttavia credo di iniziare a capire un po' di più... Poi che il tuo metodo sia molto più elegante credo che non ci sia proprio da discutere... Il problema, per quanto mi riguarda, è che per capire a volte ho bisogno di un approccio un po' più diretto e meno fine...
Quando ho detto che ci sono riuscito, effettivamente, l'ho fatto al contrario. Cioè, dalla scrittura $x_1*x_2+y_1*y_2$ sono arrivato all'altra, ma solo tramite passaggi algebrici che sfruttano le usuali proprietà trigonometriche e che quindi posso tranquillamente invertire. In sostanza, se ho capito quello che diceva Ada, ho preso per buono il concetto di distanza dall'origine (norma) e sono arrivato al prodotto scalare. Sono d'accordo con te che l'approccio non è proprio rigoroso... tuttavia credo di iniziare a capire un po' di più... Poi che il tuo metodo sia molto più elegante credo che non ci sia proprio da discutere... Il problema, per quanto mi riguarda, è che per capire a volte ho bisogno di un approccio un po' più diretto e meno fine...
"maurer":
generano un sottospazio di dimensione due, cioè un piano (il termine corretto è iperpiano, giusto?). La domanda è questa: posso (e più che altro, è conveniente?) pensare all'angolo convesso compreso tra questi due vettori come all'angolo sul piano da essi generato?
Certo. Tutto corretto tranne il termine "iperpiano" che di solito significa "sottospazio di codimensione uno". Ad esempio, un iperpiano di $RR^2$ è una retta, un iperpiano di $RR^3$ è un piano e così via.
Ok, grazie!
scusate, sono un po' sparita e poi ho ritrovato una montagna di messaggi che questo mi era sfuggito.
dovete sapere che ogni tanto mi si blocca internet explorer e quando lo riavvio tutti i messaggi che c'erano da leggere mi appaiono come già letti ...
mi pare di aver capito che hai ricostruito i passaggi non scritti, mi fa piacere sapere che ti sono stata almeno un po' d'aiuto, e comunque sapevo di averti lasciato in ottime mani ...
ciao.
dovete sapere che ogni tanto mi si blocca internet explorer e quando lo riavvio tutti i messaggi che c'erano da leggere mi appaiono come già letti ...
mi pare di aver capito che hai ricostruito i passaggi non scritti, mi fa piacere sapere che ti sono stata almeno un po' d'aiuto, e comunque sapevo di averti lasciato in ottime mani ...
ciao.
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