Prodotto scalare e sottospazi..

[aleio1]

salve..ho un'esercizio che ho provato a svolgere ma non sono sicuro..potreste darci un'occhiata?
grazie..

allora sono su $\mathbb{R}^8$ ed ho un prodotto scalare $b:\mathbb{R}^8\times \mathbb{R}^8\rightarrow \mathbb{R}$non degenere. Inoltre siano $U$ e $W$ due sottospazi tali che $\mathbb{R}^8 = U\oplus W$ e tali che $b_{ \ |_U}$ e $b_{ \ |_W}$ sono identicamente nulli.

Devo dimostrare che $dim U=dim W=4$.

Io pensavo che essendo $b$ nullo sia su $U$ che su $W$ allora i sottospazi ortogonali a $U$ ed a $W$ coincidono rispettivamente con gli stessi $U$ e $W$. Ma essendo $dim U +dim U^{\bot}=dim \mathbb{R}^8=8$ allora si ha $2 dim U=8\Rightarrow dim U=4$.

La stessa cosa per $W$.

Però ritengo ci sia qualcosa di sbagliato anche perchè non uso l'ipotesi che i sottospazi siano in somma diretta.

Chi mi dà una mano a capire dove sbaglio?

[cirasa]

Dal fatto che $b_{|U}=0$ deduci che $U sube U^bot$ e non che $U=U^bot$.

[j18eos]

Essendo:
[tex]b_{/U}=b_{/W}=0_b\Rightarrow U\subseteq U^{\perp};\,W\subseteq W^{\perp}\Rightarrow U\oplus W=\mathbb{R}^8\subseteq U^{\perp}+W^{\perp}\Rightarrow U^{\perp}+W^{\perp}=\mathbb{R}^8[/tex]