Prodotto scalare e prodotto per scalari
Se chiamo $\Omega$ l'insieme dei vettori liberi della geometria euclidea, io leggo nei libri di algebra lineare che per definire il prodotto di un vettore per uno scalare devo scegliere un punto dello spazio A, costruire un vettore applicato appartenente al vettore libero (inteso come classe di equivalenza), ottenendo quindi un vettore AB, e dopodiche scegliere B' sulla retta passante per A e per B tale che il rapporto tra AB' e AB è proprio uguale a $k$.
La mia domanda è: la definizione di omega come spazio vettoriale presuppone quindi la definizione di ""norma" di un vettore, e quindi di "prodotto scalare" tra due vettori? MI sembra che ci sia una circolarità...se non definisco un prodotto scalare non so cos'è una norma nè cos'è la lunghezza di un vettore...e quindi non posso definire il vettore $k$ AB come ho fatto sopra...d'altra parte, se non ho definito un prodotto per scalari non ha senso dire che $\Omega$ è uno spazio vettoriale, e quindi non avrebbe alcun senso definire un prodotto scalare (e quindi una norma, e quindi una lunghezza) tra due vettori...
E' una circolarità solo apparente? C'è un modo di definire la lunghezza di un vettore senza usare il concetto di norma?
Vi ringrazio infinitamente
La mia domanda è: la definizione di omega come spazio vettoriale presuppone quindi la definizione di ""norma" di un vettore, e quindi di "prodotto scalare" tra due vettori? MI sembra che ci sia una circolarità...se non definisco un prodotto scalare non so cos'è una norma nè cos'è la lunghezza di un vettore...e quindi non posso definire il vettore $k$ AB come ho fatto sopra...d'altra parte, se non ho definito un prodotto per scalari non ha senso dire che $\Omega$ è uno spazio vettoriale, e quindi non avrebbe alcun senso definire un prodotto scalare (e quindi una norma, e quindi una lunghezza) tra due vettori...
E' una circolarità solo apparente? C'è un modo di definire la lunghezza di un vettore senza usare il concetto di norma?
Vi ringrazio infinitamente
Risposte
Ciao Newton, spero di aver capito la tua domanda. Si tratta di due operazioni diverse: prodotto scalare per vettore / prodotto scalare. Forse è stata la parola "scalare" a confonderti: se riprendi la definizione di spazio vettoriale mettendo a fuoco il corretto significato di scalare dovrebbe tornarti tutto.
Comunque:
1) Per definire uno spazio vettoriale V(K) occorrono due insiemi: un campo K e un altro insieme V. Gli scalari sono gli elementi di K. Quindi il prodotto di uno scalare per un vettore è un'operazione che associa un elemento del campo a un elemento di V e ha come risultato un elemento di V.
K x V --> V
Il prodotto kv insieme a un'altra operazione (somma), dotati di deteminate proprietà, definiscono la struttura di spazio vettoriale. Quindi lo spazio vettoriale "deve la sua esistenza" al prodotto kv, per definizione.
2) il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori che dà come risultato uno scalare:
V x V --> K
Non è necessario, però, che questa operazione sia introdotta affinché sia dato uno spazio vettoriale.
Secondo l'impostazione che hanno i miei libri, il punto non è un elemento di uno spazio vettoriale, ma è un elemento di uno spazio affine (definito successivamente sullo spazio vettoriale).
Non è che il tuo libro rappresenta i vettori nello spazio per darne un'idea intuitiva o una rappresentazione prima di introdurre la definizione più astratta?
Comunque:
1) Per definire uno spazio vettoriale V(K) occorrono due insiemi: un campo K e un altro insieme V. Gli scalari sono gli elementi di K. Quindi il prodotto di uno scalare per un vettore è un'operazione che associa un elemento del campo a un elemento di V e ha come risultato un elemento di V.
K x V --> V
Il prodotto kv insieme a un'altra operazione (somma), dotati di deteminate proprietà, definiscono la struttura di spazio vettoriale. Quindi lo spazio vettoriale "deve la sua esistenza" al prodotto kv, per definizione.
2) il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori che dà come risultato uno scalare:
V x V --> K
Non è necessario, però, che questa operazione sia introdotta affinché sia dato uno spazio vettoriale.
"newton_1372":
Se chiamo $ \Omega $ l'insieme dei vettori liberi della geometria euclidea, io leggo nei libri di algebra lineare che per definire il prodotto di un vettore per uno scalare devo scegliere un punto dello spazio A, costruire un vettore applicato appartenente al vettore libero (inteso come classe di equivalenza), ottenendo quindi un vettore AB, e dopodiche scegliere B' sulla retta passante per A e per B tale che il rapporto tra AB' e AB è proprio uguale a $ k $
Secondo l'impostazione che hanno i miei libri, il punto non è un elemento di uno spazio vettoriale, ma è un elemento di uno spazio affine (definito successivamente sullo spazio vettoriale).
Non è che il tuo libro rappresenta i vettori nello spazio per darne un'idea intuitiva o una rappresentazione prima di introdurre la definizione più astratta?
essendo il capitolo 1 del libro, direi proprio che è così (idea intuitiva). Ma a questo punto sono curioso...
Da una parte per definire kv ho bisogno di sapere cos'è la lunghezza di un vettore, d'altra parte però per sapere cos'è la lunghezza di un vettore ho bisogno di sapere cos'è una norma (e quindi un prodotto scalare, che è definito su spazi che dovrei già supporre vettoriali...
E' questa circolarità che non mi convince...
Da una parte per definire kv ho bisogno di sapere cos'è la lunghezza di un vettore, d'altra parte però per sapere cos'è la lunghezza di un vettore ho bisogno di sapere cos'è una norma (e quindi un prodotto scalare, che è definito su spazi che dovrei già supporre vettoriali...
E' questa circolarità che non mi convince...
"newton_1372":
Da una parte per definire kv ho bisogno di sapere cos'è la lunghezza di un vettore [...]
E' questa circolarità che non mi convince...
La lunghezza è definita sul prodotto scalare, non sul prodotto scalare per vettore. Non c'è circolarità.
Provo a spiegarmi in altre parole.
La definizione formale di spazio vettoriale, in "ordine logico", viene prima della sua rappresentazione geometrica mediante segmenti.
Il prodotto kv permette semplicemente di costruire l'elemento kv (appartenente a V) dati un elemento k del campo e un elemento v dell'insieme V.
Non è detto che V sia una n-pla. Potrebbe essere anche l'insieme delle matrici di ordine 2, per esempio.
In questo caso v ė una matrice, k un numero reale, e kv lo puoi definire in questo modo:
k $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ = $ ( ( ka , kb ),( kc , kd ) ) $
Nel caso dei vettori rappresentati da segmenti, è vero in certo senso, intuitivamente, che non puoi disegnare un segmento "senza lunghezza", ma la lunghezza come concetto è introdotta dopo, non compare nella definizione. Secondo me le operazioni e le nozioni introdotte successivamente alla definizione (come la lunghezza) servono per descrivere e caratterizzare le proprietà degli oggetti che abbiamo introdotto, ma non, appunto, per definirli.
Quindi il fatto che, per esempio, la lunghezza di 4v - 3v è pari alla lunghezza di v è una proprietà che segue, e non precede, le definizioni e le proprietà scelte per introdurre la nozione di spazio vettoriale. [correggo: questo esempio non è adeguato perché 4v - 3v e v sono lo stesso vettore].
"newton_1372":
Se chiamo $\Omega$ l'insieme dei vettori liberi della geometria euclidea, io leggo nei libri di algebra lineare che per definire il prodotto di un vettore per uno scalare devo scegliere un punto dello spazio A, costruire un vettore applicato appartenente al vettore libero (inteso come classe di equivalenza), ottenendo quindi un vettore AB, e dopodiche scegliere B' sulla retta passante per A e per B tale che il rapporto tra AB' e AB è proprio uguale a $k$.
Non confondere un esempio intuitivo con la definizione. Uno spazio vettoriale non possiede il concetto di lunghezza, come non esisteva in gran parte della geometria sintetica. Quello che è definito è il concetto rapporto di lunghezza, ma non è possibile confrontare le lunghezze di due vettori indipendenti.
Cioè è possibile definire il rapporto di lunghezza tra due vettori senza usare il concetto di lunghezza? 
In che modo? Sto parlando di un insieme preciso , quello dei vettori liberi del piano...come definire il rapporto di lunghezza?
In che modo? Sto parlando di un insieme preciso , quello dei vettori liberi del piano...come definire il rapporto di lunghezza?
Supponi di avere una gomma di cui non sai la dimensione, anche senza sapere la sua misura in cm sai misurare un foglio di carta in funzione della gomma. Qui il principio è simile. Il punto è che nella maggior parte dei casi non ti serve avere un valore numerico assoluto ma solo uno relativo. Nello spazio affine euclideo hai comunque definito la lunghezza in modo da essere compatibile con il rapporto di lunghezze. In pratica è la stessa cosa di ciò che i fisici fanno quando definiscono una unità di misura. Lo spazio vettoriale astratto non possiede, comunque, neanche il concetto di angolo.
Ok, ma quello che mi tormenta è il seguente.
Per definire un prodotto scalare su omega ho bisogno di sapere che $\Omega$ è uno spazio vettoriale.
Per dire che $\Omega$ è uno spazio vettoriale, devo poter trovare un prodotto per scalari (e una somma) tali che...1), 2), 3), ...il prodotto per scalari fa uso del concetto di "rapporto di lunghezze" tra vettori. Se parlo di lunghezza, parlo di norma. Se parlo di norma, parlo di prodotto scalare.
Quindi non posso dire che $\Omega$ è uno spazio vettoriale senza prima aver definito un prodotto scalare su di esso...mi sembra paradossale...a meno che con "lunghezza di OP" non intendiamo qualche altra cosa come "Prendi il righello, posizionalo tra lo 0 e il punto finale. Trovi un numero, che chiamo lunghezza del vettore OP.
MI sembra però un modo di risolvere molto "sperimentale", e mi sorprenderebbe che un testo come il ciliberto (preciso e formale fino all'ossessione) definisca il prodotto per scalari in $\Omega$ in modo così impreciso...
Per definire un prodotto scalare su omega ho bisogno di sapere che $\Omega$ è uno spazio vettoriale.
Per dire che $\Omega$ è uno spazio vettoriale, devo poter trovare un prodotto per scalari (e una somma) tali che...1), 2), 3), ...il prodotto per scalari fa uso del concetto di "rapporto di lunghezze" tra vettori. Se parlo di lunghezza, parlo di norma. Se parlo di norma, parlo di prodotto scalare.
Quindi non posso dire che $\Omega$ è uno spazio vettoriale senza prima aver definito un prodotto scalare su di esso...mi sembra paradossale...a meno che con "lunghezza di OP" non intendiamo qualche altra cosa come "Prendi il righello, posizionalo tra lo 0 e il punto finale. Trovi un numero, che chiamo lunghezza del vettore OP.
MI sembra però un modo di risolvere molto "sperimentale", e mi sorprenderebbe che un testo come il ciliberto (preciso e formale fino all'ossessione) definisca il prodotto per scalari in $\Omega$ in modo così impreciso...
Considera lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più $n$, la moltiplicazione per uno scalare è la normale moltiplicazione per uno scalare dei polinomi.
SI ovviamente ci sono...tutto è coerente con gli spazi vettoriali astratti (quello dei polinomi, quello delle matrici,...,$\mathbb R^n$...) quello che mi preoccupa è proprio l'insieme più "banale" e "concreto" possibile, ovvero l'insieme $\Omega_X$, ovvero l'insieme dei vettori applicati al punto X.
Voglio dotargli una struttura di spazio vettoriale.
Somma: regola del parallelogramma
Prodotto per scalari: il mio vettore è XA, e voglio moltiplicarlo per lo scalare k. Prendo la retta di applicazione passante per il vettore XA, e quindi trovo il punto A' tale che il rapporto tra le LUNGHEZZE di XA' e XA è proprio uguale a k.
Il problema è che a questo livello io non so cos'è una lunghezza: per farlo avrei bisogno di definire un prodotto scalare su $\Omega_X$. Questo a rigore non potrei farlo finchè non provo che $\Omega_X$ è uno spazio vettoriale...
Come si esce da questo dilemma? Io non troverei che due maniere:
1). Definisco la lunghezza di un vettore in $\Omega_X$ senza far uso del concetto di prodotto scalare (salvo poi scoprire, della serie: "Che ...fattore c!!!" che se definisco il prodotto scalare in un certo modo mi ritrovo la stessa lunghezza di prima
2). Definisco il prodotto di $XA$ per lo scalare $k$ in modo da non usare lo scomodo concetto di lunghezza (o rapporto di lunghezze). Se la soluzione è 2) sembra che tutti i libri di geometria andrebbero riscritti... (il che mi fa pensare che sia meglio 1).
Un ultima considerazione: a pensarci bene, anche la SOMMA tra vettori di $\Omega_X$ può dare gli stessi problemi.Dati $XA$ e $XB$, scelgo un punto C tale che XABC sia un parallelogramma. Per definizione XC è il vettore $XA+XB$. Ma cos'è un parallelogramma? E' una figura geometrica tale che i segmenti sono a due a due paralleli e congruenti. Congruenti significa che sono sovrapponibili con un movimento rigido (quindi uso implicitamente il concetto di isometria?) o, il che è lo stesso, che i due segmenti hanno la stessa lunghezza (ancora una volta torna il concetto di lunghezza, che dovrebbe venire solo dopo aver definito un prodotto scalare).
Cioè, sembra che per definire la somma tra due vettori geometrici e il prodotto tra un vettore e uno scalare, io usi gratuitamente che $\Omega_X$ è uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare euclideo (nel senso di definito positivo)...
Non vi sembra che ci sia una circolarità?
Voglio dotargli una struttura di spazio vettoriale.
Somma: regola del parallelogramma
Prodotto per scalari: il mio vettore è XA, e voglio moltiplicarlo per lo scalare k. Prendo la retta di applicazione passante per il vettore XA, e quindi trovo il punto A' tale che il rapporto tra le LUNGHEZZE di XA' e XA è proprio uguale a k.
Il problema è che a questo livello io non so cos'è una lunghezza: per farlo avrei bisogno di definire un prodotto scalare su $\Omega_X$. Questo a rigore non potrei farlo finchè non provo che $\Omega_X$ è uno spazio vettoriale...
Come si esce da questo dilemma? Io non troverei che due maniere:
1). Definisco la lunghezza di un vettore in $\Omega_X$ senza far uso del concetto di prodotto scalare (salvo poi scoprire, della serie: "Che ...fattore c!!!" che se definisco il prodotto scalare in un certo modo mi ritrovo la stessa lunghezza di prima
2). Definisco il prodotto di $XA$ per lo scalare $k$ in modo da non usare lo scomodo concetto di lunghezza (o rapporto di lunghezze). Se la soluzione è 2) sembra che tutti i libri di geometria andrebbero riscritti... (il che mi fa pensare che sia meglio 1).
Un ultima considerazione: a pensarci bene, anche la SOMMA tra vettori di $\Omega_X$ può dare gli stessi problemi.Dati $XA$ e $XB$, scelgo un punto C tale che XABC sia un parallelogramma. Per definizione XC è il vettore $XA+XB$. Ma cos'è un parallelogramma? E' una figura geometrica tale che i segmenti sono a due a due paralleli e congruenti. Congruenti significa che sono sovrapponibili con un movimento rigido (quindi uso implicitamente il concetto di isometria?) o, il che è lo stesso, che i due segmenti hanno la stessa lunghezza (ancora una volta torna il concetto di lunghezza, che dovrebbe venire solo dopo aver definito un prodotto scalare).
Cioè, sembra che per definire la somma tra due vettori geometrici e il prodotto tra un vettore e uno scalare, io usi gratuitamente che $\Omega_X$ è uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare euclideo (nel senso di definito positivo)...
Non vi sembra che ci sia una circolarità?
Continui a perdere il punto principale. Quando tu consideri quell'esempio tu lavori con un oggetto che possiede, nella tua testa, tutta una serie di caratteristiche e proprietà. Il punto è che il tuo ragionamento è ciclico, non l'oggetto in sé. Comunque, da quel che ricordo, pressoché nessun libro di geometria serio presenta le cose come le dici tu se non come esempio iniziale. Quindi il tuo "tutti i libri" è, quanto meno, esagerato.
Il modello di spazio affine euclideo ha il prodotto vettoriale, il concetto di angolo, il concetto di lunghezza e anche tutta una serie di proprietà geometrico-analitiche aggiuntive. Inoltre possiede varie caratteristiche algebriche.
Ad un certo punto del tuo studio vedrai che ogni spazio vettoriale astratto con certe caratteristiche è, di fatto, \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) con il prodotto scalare canonico. Inoltre, proseguendo noterai come sono le funzioni ad essere importanti e non l'oggetto in sé.
Il modello di spazio affine euclideo ha il prodotto vettoriale, il concetto di angolo, il concetto di lunghezza e anche tutta una serie di proprietà geometrico-analitiche aggiuntive. Inoltre possiede varie caratteristiche algebriche.
Ad un certo punto del tuo studio vedrai che ogni spazio vettoriale astratto con certe caratteristiche è, di fatto, \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) con il prodotto scalare canonico. Inoltre, proseguendo noterai come sono le funzioni ad essere importanti e non l'oggetto in sé.
L'isomorfismo "passaggio alle coordinate" e definito pure esso su spazi vettoriali...quindi non posso dire che $\Omega_X$ e isomorfo a $R^n$...il problema e appunto dimostrare che e uno spazio vettoriale senza usare concetti definiti già in partenza su spazi vettoriali...facendo ricerche ho notato che posso definire una lunghezza anche senza usare prodotti scalari, e questo mi e di conforto...inoltre mi sono riletto geometria razionale, e li sono definite cose come movimenti rigidi, congruenza tra segmenti, angoli...solo tramite postulati...per questo la mia domanda diventa: come definire la lunghezza di un vettore geometrico senza usare la nozione di prodotto scalare? "Fissa un unita di misura e vedi quante volte sta e una definizione rigorosa? Mi sa strano, anche perché mi si dovrebbe dire cos'è $\pi AX$ visto che pi greco non e razionale...
Per me adesso il termine "isometria" sostituisce quello di "movimento rigido", e per parlare di isometria devo aver definito in qualche modo una distanza, visto che f e un isometria se evsolo se $d(f(x),f(y))= d(x,y)$...quindi comincio a pensare che il libro abbia in testa un concetto un po' più assiomatico di "lunghezza" di una freccia, ed e quello che usa per definire il prodotto per scalari...e già che ci sono, una volta che mi sono immaginato che e uno spazio vettoriale, come definisco il prodotto scalare do due vettori geometrici? (x,y)=|x||y|cos alfa...ma ahi ahi ahi, sto usando un angolo...Oppure potrei usare le coordinate, e definire $(x,y)=$, dove <> e il prodotto scalare canonico su R^n e f l'applicazione che ad ogni coppia di numeri mi associa la freccia corrispondente (fissati due vettori come base s'intende). Ma in ogni caso andrebbe mostrato che la metrica indotta da questo prodotto scalare coincida con pa lunghezza assiomaticamente definita all'inizio (il che non sembra affatto ovvio)...
Up
Up...mi interesserebbe avere conferma sul fatto che la lunghezza dei vettori geometrici della geometria euclidea e definita assiomaticamente, senza far uso del concetto di prodotto scalare
Nella geometria sintetica esiste una assiomatizzazione della lunghezza. In termini modellistici quello che di fatto di fa è considerare \(\mathbf{R}^n\) come un modello appropriato del mondo fisico. Su questo insieme somma e prodotto per lo scalare hanno senso. Riguardo ai gruppi di trasformazione quello che conta è come si compongono le funzioni e le proprietà del loro insieme.
Cosa intendi per "geometria sintetica?" (immagino non sia Nylon..
)
"Su questo insieme" intendi $\mathbb R^n$?
Quindi vediamo se ho capito:
esiste un assiomatizzazione indipendente della geometria euclidea, con il proprio concetto di lunghezza di vettore, angoli eccetera. Poi creo una teoria degli spazi vettoriali, e scopro che la coppia $\Omega_X$ munito della somma e del prodotto (che fanno uso solo di quelle costruzioni assiomatiche) formano effettivamente uno spazio vettoriale, e fin qui ci siamo. Poi scopro che $\Omega_X$ è isomorfo a $\mathbb R^2$.
Ora che so che è uno spazio vettoriale, ha senso costruire su $\Omega_X$ un prodotto scalare. Per farlo posso ovviamente usare tutti i concetti di angoli, lunghezze, proiezioni, ortogonalità, tutte definite assiomaticamente (come la nozione di lunghezza). Allora associo alla coppia di vettori geometrici P,Q la quantità $p\cdot q//$, ovvero il prodotto tra la lunghezza di p e la lunghezza della proiezione di q lungo la retta passante per p. Rispetto a questo prodotto scalare scopro che la nozione di ortogonalità "astratta'' coincide effettivamente con quella che avevamo all'inizio (data tramite assiomi), e lo stesso vale per angoli, lunghezze...
Tutto corretto?
)"Su questo insieme" intendi $\mathbb R^n$?
Quindi vediamo se ho capito:
esiste un assiomatizzazione indipendente della geometria euclidea, con il proprio concetto di lunghezza di vettore, angoli eccetera. Poi creo una teoria degli spazi vettoriali, e scopro che la coppia $\Omega_X$ munito della somma e del prodotto (che fanno uso solo di quelle costruzioni assiomatiche) formano effettivamente uno spazio vettoriale, e fin qui ci siamo. Poi scopro che $\Omega_X$ è isomorfo a $\mathbb R^2$.
Ora che so che è uno spazio vettoriale, ha senso costruire su $\Omega_X$ un prodotto scalare. Per farlo posso ovviamente usare tutti i concetti di angoli, lunghezze, proiezioni, ortogonalità, tutte definite assiomaticamente (come la nozione di lunghezza). Allora associo alla coppia di vettori geometrici P,Q la quantità $p\cdot q//$, ovvero il prodotto tra la lunghezza di p e la lunghezza della proiezione di q lungo la retta passante per p. Rispetto a questo prodotto scalare scopro che la nozione di ortogonalità "astratta'' coincide effettivamente con quella che avevamo all'inizio (data tramite assiomi), e lo stesso vale per angoli, lunghezze...
Tutto corretto?
Mmh, no.
Esiste una realtà fisica che viene descritta decentemente da $RR^n$ quando le velocità e le distanza in gioco sono sufficientemente limitate. La realtà fisica è ciò che ci fornisce la visione intuitiva della geometria e dei vettori come frecce. Ma ciò che matematicamente hai non è altro che $RR^n$.
Inoltre esistono degli assiomi della Geometria Euclidea, ovvero quelli che studi alle superiori. Quello che ricavi è che lo spazio che trovi dando a $RR^n$ una struttura di spazio vettoriale affine euclideo (astratto) è qualcosa che rispetta gli assiomi di Hilbert.
Esiste una realtà fisica che viene descritta decentemente da $RR^n$ quando le velocità e le distanza in gioco sono sufficientemente limitate. La realtà fisica è ciò che ci fornisce la visione intuitiva della geometria e dei vettori come frecce. Ma ciò che matematicamente hai non è altro che $RR^n$.
Inoltre esistono degli assiomi della Geometria Euclidea, ovvero quelli che studi alle superiori. Quello che ricavi è che lo spazio che trovi dando a $RR^n$ una struttura di spazio vettoriale affine euclideo (astratto) è qualcosa che rispetta gli assiomi di Hilbert.
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