Prodotto scalare e coniugati

[g.longhi]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano.

Sia $ phi: RR^3 -> RR^3 $ la forma bilineare associata canonicamente alla matrice $ ( ( 1 , 2,1 ),( 2 , 5 , 0),(1 , 0 , 6 ) ) $

i. Dimostrare che la forma bilineare è un prodotto scalare.
ii. determinare una base del sottospazio $W: x-y-z=0$ ortonormale rispetto a $phi$
iii. determinare l'equazione del laterale W coniugato (rispetto a $phi$) passante per P=(1;2;3)

i. La matrice è simmetrica, devo verificare che sia definita positiva.
Tutti i minori sono positivi -> $phi$ è un prodotto scalare.

ii.$ W = span {(1,1,0),(1,0,1)}$, $phi: x x' + 2xy' + xz' + 5yy' + 6zz'$

Con l'algoritmo di gram-smith ho la base $U = {(1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) , 0),(5/sqrt(98),-3/sqrt(98),8/sqrt(98))}$

iii. Per determinare W coniugato ho sempre risolto il sistema $B xx A xx X = 0$
dove B è la matrice contenente le basi di B, A è la matrice di Gram associata al prodotto scalare e X la colonna delle incognite.

$ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ $ xx ( ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 5 , 0 ),(1 , 0 , 6) ) xx ( ( x ),( y ),( z) ) = 0 $

$ 3x + 7y + z = 0$
$2x + 2y + 7z = 0 $

Da cui $W^c = span{(-47,19,8)}$

Ma $(-47,19,8)*( 1 , 1 , 0 ) e (-47,19,8)*( 1 , 0 , 1 )$ non dovrebbero far zero rispetto al prodotto $phi$ ?

Ho sbagliato a fare i conti o ho sbagliato il procedimento?

[g.longhi]

Nessuno?

[g.longhi]

Rettifico, $phi: x x′+4xy′+ 2xz′+5yy′+6zz′$ giusto?!
Ma nonostante tutto non mi torna la verifica.. nessuno che sa dirmi se il procedimento è giusto o sbagliato?