Prodotto scalare e complementi ortogonali

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Ho dei dubbi riguardo il seguente problema che propongo.
Considero il prodotto scalare [tex]f[/tex] su [tex]\mathbb{R}^3[/tex] la cui matrice rispetto alla base canonica di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] è:
[tex]\mathcal{A}=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)[/tex].
Ovviamente essendo [tex]\textrm{det}\mathcal{A}= 0[/tex] il prodotto [tex]f[/tex] è degenere. Detto [tex]W[/tex] un sottospazio di [tex]\mathbb{R}^3[/tex], devo verificare che almeno una tra le uguaglianze seguenti non vale:
1) [tex]\dim W^{\bot}=\dim \mathbb{R}^3-\dim W[/tex];
2) [tex](W^{\bot})^{\bot}=W[/tex].

Ovviamente [tex]\dim W=2[/tex] e stando all'uguaglianza 1) risulterebbe 1) [tex]\dim W^{\bot}=3-2=1[/tex]. Ho trovato anche
[tex]W^{\bot}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+y=0\}[/tex] e se non sto sbagliando mi pare che [tex]\dim W^{\bot}[/tex] risulterebbe pari a 1. Quindi l'uguaglianza 1) mi sembra verificata. Ho detto bene?
Quanto all'uguaglianza 2), una base di [tex]W^{\bot}[/tex] è [tex][(1,-1)][/tex] o [tex][(1,-1,0)][/tex]? Non saprei come procedere successivamente. In cosa sbaglio e come posso concludere? Credo che mi sto confondendo tra terne e dimensione 2 del sottospazio...

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[cirasa]

Non ho letto tutto. Ci sono parti che devono essere sistemate prima:

"Andrea90":Ovviamente [tex]\dim W=2[/tex] [...]

"Ovviamente" no, perchè non hai detto chi è $W$.
Con le sole informazioni che ci hai dato non puoi dire che $dim(W)=2$. Hai solo detto che $W$ è un sottospazio di $RR^3$...

"Andrea90":Ho trovato anche
[tex]W^{\bot}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+y=0\}[/tex] e se non sto sbagliando mi pare che [tex]\dim W^{\bot}[/tex] risulterebbe pari a 1.

A me invece pare che la dimensione di questo sottospazio (che non so come hai trovato dato che non conosco $W$) sia uguale a $2$, in quanto una sua base è formata dai vettori $(1,-1,0),(0,0,1)$.

[Andrea902]

Nella confusione dei fogli ho dimenticato che [tex]W=\mathcal{L}(e_1,e_2)[/tex] con [tex]e_1,e_2[/tex] i primi due vettori della base canonica di [tex]\mathbb{R}^3[/tex]... Scusate!

[cirasa]

Hai letto tutto il mio suggerimento precedente?

"cirasa":[quote="Andrea90"]Ho trovato anche
[tex]W^{\bot}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+y=0\}[/tex] e se non sto sbagliando mi pare che [tex]\dim W^{\bot}[/tex] risulterebbe pari a 1.

A me invece pare che la dimensione di questo sottospazio (che non so come hai trovato dato che non conosco $W$) sia uguale a $2$, in quanto una sua base è formata dai vettori $(1,-1,0),(0,0,1)$.[/quote]