Prodotto scalare definito positivo?
Dato il prodotto scalare $-< , >- : RR^2xxRR^2 rarr RR$ definito da $-< ((x_1),(x_2)) , ((y_1),(y_2)) >- = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 3x_2y_2$
Dimostrare che il prodotto scalare è definito positivo.
(Dimostrare sta per verificare)
Allora, io prima ho trovato la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica, anche perchè il precedente esercizio era proprio questo.
Ottengo quindi la seguente matrica A
$A = ((1,-2),(-2,3))$ .
Ora per verificare che il prodotto scalare è definito positivo, utilizzo il metodo dei minori principali.
$det(M_1) = 1 > 0$
$det (A) = 3 - 4 = -1 < 0$
Non avendo tutti i determinanti positivi, secondo le mie conoscenze, il prodotto scalare non può essere definito positivo.
Ora non capisco se commetto qualche errore io o è il testo ad essere sbagliato.
Grazie
Dimostrare che il prodotto scalare è definito positivo.
(Dimostrare sta per verificare)
Allora, io prima ho trovato la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica, anche perchè il precedente esercizio era proprio questo.
Ottengo quindi la seguente matrica A
$A = ((1,-2),(-2,3))$ .
Ora per verificare che il prodotto scalare è definito positivo, utilizzo il metodo dei minori principali.
$det(M_1) = 1 > 0$
$det (A) = 3 - 4 = -1 < 0$
Non avendo tutti i determinanti positivi, secondo le mie conoscenze, il prodotto scalare non può essere definito positivo.
Ora non capisco se commetto qualche errore io o è il testo ad essere sbagliato.
Grazie
Risposte
potrebbe essere una questione di definizione.
vedi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare
vedi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare
C'è anche un'altra cosa strana: se lo applichi allo stesso vettore $(x,y)$ ottieni
$xy-2xy-2xy+3xy=0$, per cui come forma quadratica è identicamente nulla!
$xy-2xy-2xy+3xy=0$, per cui come forma quadratica è identicamente nulla!
@adaBTTLS: Su wiki non ho trovato nulla di interessante..
@ciampax: se lo applichi allo stesso vettore cioè fai il prodotto scalare $--$ ottieni: $x^2-4xy+3y^2$
@tutti: secondo voi c'è un errore nel testo o sbaglio io in qualche cosa?
@ciampax: se lo applichi allo stesso vettore cioè fai il prodotto scalare $-
@tutti: secondo voi c'è un errore nel testo o sbaglio io in qualche cosa?
Oppsss.... scusa, non so perché pensavo che le $x$ e le $y$ venissero incolonnate.... non avevo notato che le $x$ fanno parte di un vettore e le $y$ di un altro.
Ma allora se lo applichi allo stesso vettore puoi scrivere. $x^2-4xy+3y^2=(x-2y)^2-y^2=(x-3y)(x-y)$ che, ovviamente, assume anche valori negativi!
Ma allora se lo applichi allo stesso vettore puoi scrivere. $x^2-4xy+3y^2=(x-2y)^2-y^2=(x-3y)(x-y)$ che, ovviamente, assume anche valori negativi!
il riferimento alla pagina di wiki era solo per vedere che cosa si intendesse per "definito positivo", perché il prodotto scalare tra due vettori non è sempre positivo (basta pensare alla definizione geometrica di due vettori confluenti che formano un angolo ottuso), ma è positivo, per definizione, il prodotto scalare tra un qualsiasi vettore non nullo e se stesso.
nella tua formula, che io non capisco ma penso che si tratti di un esercizio, se i due vettori sono uguali, con $x_2
e questo corrisponde a ciò che hai risposto a ciampax.
nella tua formula, che io non capisco ma penso che si tratti di un esercizio, se i due vettori sono uguali, con $x_2
e questo corrisponde a ciò che hai risposto a ciampax.
@ciampax: esatto, ma non è neanche definito come prodotto scalare. Infatti se prendi il vettore $((1),(1))$ o $((2),(2))$ o $((1),(1/3))$ , ecc... e li moltiplichi per se stessi ottieni $0$.
Avendo almeno un vettore non nullo che moltiplicato per se stesso da 0, cioè è isotropo, il prodotto scalare è indefinito.
Ho controllato comunque gli appunti e dicono chiaramente che per essere un prodotto scalare definito positvo tutti i determinanti (in questo caso 2) devono essere $>0$.
In ogni caso anche se la definizione fosse sbagliata (per assurdo) sopra ho dimostrato il contrario.
Quindi l'errore sta nel testo!
@adaBTTLS: Le definizioni di cui parli riguardano il prodotto scalare canonico cioè $\sum_{i=1}^n x_i y_i$ oppure conoscendo il modulo dei due vettori e l'ampiezza dell'angolo fra essi compreso: $|v||w|cosalpha$ .
In realtà poi esistono infiniti prodotti scalari non canonici. Uno è proprio questo.
Per il resto nulla da dire
Problema risolto!
Avendo almeno un vettore non nullo che moltiplicato per se stesso da 0, cioè è isotropo, il prodotto scalare è indefinito.
Ho controllato comunque gli appunti e dicono chiaramente che per essere un prodotto scalare definito positvo tutti i determinanti (in questo caso 2) devono essere $>0$.
In ogni caso anche se la definizione fosse sbagliata (per assurdo) sopra ho dimostrato il contrario.
Quindi l'errore sta nel testo!
@adaBTTLS: Le definizioni di cui parli riguardano il prodotto scalare canonico cioè $\sum_{i=1}^n x_i y_i$ oppure conoscendo il modulo dei due vettori e l'ampiezza dell'angolo fra essi compreso: $|v||w|cosalpha$ .
In realtà poi esistono infiniti prodotti scalari non canonici. Uno è proprio questo.
Per il resto nulla da dire
Problema risolto!
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