Prodotto scalare definito

[enpires1]

Ciao a tutti! Ho dei problemi nella risoluzione di questo esercizio,
Il testo mi dice che ho un prodotto scalare cui è associata (rispetto alla base canonica) la matrice $A=((\alpha,1),(1,\alpha -1))$
E vuole sapere per quali valori di $\alpha$ il prodotto scalare è indefinito non degenere.

L'essere non degenere è semplice, basta calcolarne il determinante e porlo diverso da 0, siccome il determinante è $\alpha^2-\aplha-1$, quindi il prodotto scalare è non degenere per $\aplha != (1- sqrt(5))/2,(1+sqrt(5))/2$

Adesso, so che un prodotto scalare è definito postivo se e solo se tutti i suoi autovalori (della matrice associata) sono positivi, ma qui non so quanto mi convenga calcolarmi gli autovalori e porli positivi...
Quindi mi è venuto in mente di "trovarmi" il prodotto scalare facendo $v^tAw=(v_1,v_2)((\alpha,1),(1,\alpha -1))((w_1),(w_2))=\alpha v_1w_1-v_2w_1+w_2v_1-(\alpha-1)v_2w_2$
Ma da qui in poi sono bloccato... consigli?

[ViciousGoblin]

ricorda che il determinante e' il prodotto degli autovalori e la traccia e' la loro somma

[enpires1]

mmm quindi essendo il determinante uguale al prodotto degli autovalori, necessariamente deve essere negativo (essendo indefinito dovremo avere un autovalore positivo ed uno negativo, fatto il prodotto esce un numero negativo) quindi mi basta porre $\alpha^2-\alpha-1<0$, ovvero $(1-sqrt(5))/2<\alpha<(1+sqrt(5))/2$?
Il testo purtroppo mi da un risultato differente