Prodotto scalare

[lu_ca1]

ciao a tutti per caso voi sapete come dimostrare che un prodotto scalare semidefinito positivo è degenere? e che anche l'indefinito è degenere? grazie mille perchè io non ne vengo a capo!

[dissonance]

Devi dirci cosa intendi. Quando un prodotto scalare è "degenere" per te? E cosa significa "semidefinito positivo" e "indefinito"? Non sono definizioni proprio universali, ci sono sfumature diverse di significato in circolazione.

[lu_ca1]

si è vero. Per prodotto semidefinito intendo che se $ >= 0 $ esiste v0 escluso lo 0 t.c. $ =0 $
mentre degenere se un prodotto scalare su V perpendicolare $ != (0) $
indefinito invece se $ < 0$ e $ >0 $
per dimostrarli parte con < tv0+v1, tv0+v1> con t appartenente ad R sia per il semidefinito sia per l'indefinito. Ma non capisco assolutamente come proseguire nella dimostrazione!

[dissonance]

E' solo questione di ricordarsi come risolvere le disequazioni quadratiche:

$ax^2+bx+c>=0$

a seconda del segno del discriminante, hai varie configurazioni nelle soluzioni: se $Delta <0$ non ci sono soluzioni, se $Delta=0$, a seconda del segno di $a$ hai per soluzioni $RR$ privato di un punto oppure un punto solo (eccetera eccetera, sono cose che sai sicuramente).

Applica queste regolette alla disequazione in $t$ che viene fuori sviluppando quella roba lì.

[lu_ca1]

sisi ora è chiaro infatti pensavo tutt'altro che a quello! però una cosa continuo a non capire. Perchè fa questo tipo di dimostrazione per dimostrare?

[apatriarca]

In che senso? Non mi sembra un ragionamento complicato e neanche lungo, per cui perché non dovrebbe? Che tipo di dimostrazione ti saresti aspettato?

[lu_ca1]

non capisco perchè deve usare $$ per dimostrare il teorema questo

[apatriarca]

Ma la mia domanda era.. perché non dovrebbe? Posso capire che non ti piaccia, ma è un metodo come un altro e la dimostrazione che ne risulta è abbastanza semplice e corta.

[lu_ca1]

ok allora scrivo direttamente la dimostrazione del semidefinito positivo che è degenere ... parte da $ $ = $ t^2 + 2t < v0,v1>+ >= 0 $
Per ogni t appartenente ad R $$ =0
e per ogni v appartenente a V segue che v0 appartiene a V perpendicolare .
(Ma perchè deduce che =0? e perchè per ogni v1 appartenente a V segue che v0 appartiene a V perpendicolare?) vi prego spiegatemela che non mi è chiara!

[apatriarca]

Io credo che il tuo problema sia che non hai compreso le definizioni. Sono infatti molto confuse.

Un prodotto scalare su [tex]V[/tex] si dice semidefinito positivo se [tex]\left< v, v \right> \ge 0[/tex] per ogni [tex]v \in V[/tex]. Normalmente si includono anche quelli che sono definiti positivi, cui cioè l’unico vettore [tex]v \in V[/tex] per il quale [tex]\left< v, v \right> = 0[/tex] è il vettore nullo. Nel tuo caso, stai però chiedendo che il prodotto scalare sia semidefinito positivo, ma non definito positivo. Ci sarà quindi un vettore [tex]V \ni w \neq 0[/tex] per cui [tex]\left< w, w \right> = 0[/tex]. Per le definizioni di (semi)definito negativo devi solo cambiare la relazione d'ordine usata ([tex]\le[/tex] invece di [tex]\ge[/tex]).

Esistono diverse definizioni di prodotto scalare degenere. Quella che hai molto confusamente cercato di elencare è la seguente. Un prodotto scalare è degenere se [tex]V^{\perp}[/tex], lo spazio vettoriale dei vettori perpendicolari a tutti gli elementi di [tex]V[/tex] usando quel prodotto scalare, è diverso da [tex]\{ 0 \}[/tex]. In altre parole forse più chiare, esiste almeno un vettore [tex]V \ni u \neq 0[/tex] tale che [tex]\left< u, v \right> = 0[/tex] per ogni vettore [tex]v \in V[/tex].

Per dimostrare la tua tesi devi quindi dimostrare che, preso un prodotto scalare che il quale esiste almeno un vettore [tex]V \ni w \neq 0[/tex] per cui [tex]\left< w, w \right> = 0[/tex], esiste almeno un vettore [tex]V \ni u \neq 0[/tex] per cui [tex]\left< u, v \right> = 0[/tex] per ogni [tex]v \in V[/tex].

Ma la parte iniziale della dimostrazione non può essere quello che hai mostrato. Come sono definiti i due vettori che sono presenti nella tua formula?

[lu_ca1]

l'intestazione dice che $ >=0$ per ogni v appartenente a V ed esiste un $v0 !=0$ tale che =0
e poi parte con e arriva alla conclusione che continuo a non capire dicendo che per ogni v1 appartenente a V segue che v0 appartiene a V perpendicolare..

[apatriarca]

Qualche informazione in più l'hai già tirata fuori quindi. Devi quindi prendere un vettore [tex]V \ni w \neq 0[/tex] tale che [tex]\left< w, w \left> = 0[/tex]. Ti dice a questo punto di considerare [tex]\left< t \, w + v, t \, w + v \right> = t^2 \left< w, w \right> + 2 \, t \left< w, v \right> + \left< v, v \right> = 2t \left< w, v \right> + \left< v, v \right> \ge 0[/tex] per ogni [tex]t \in \mathbb R[/tex] e [tex]v \in V[/tex] (suppongo che sia [tex]\left< v, v \right> > 0[/tex] o il teorema sarebbe immediatamente verificato). A questo punto supponiamo per assurdo che [tex]\left< w, v \right> \neq 0[/tex] e prendiamo [tex]t = - \frac{\left< v, v \right>}{\left< w, v \right>}[/tex] ottenendo quindi [tex]- \left< v, v \right> \ge 0[/tex]. Ma questo è assurdo per come abbiamo scelto il vettore [tex]v[/tex] e quindi deve essere [tex]\left< w, v \right> = 0[/tex].

[lu_ca1]

invece considera < w,w>=0 e diviene $2t+ >=0 $poi dice che per ogni t appartenente a R segue =0 e per ogni v appartenente a V segue che w appartiene a V perpendicolare. Perche dice che ? non la sto comprendendo!

[apatriarca]

Ma hai letto quello che ho scritto? [tex]\left< w, v \right>[/tex] è uguale a zero perché se non lo fosse, prendendo [tex]t \in \mathbb R[/tex] in modo opportuno, si arriverebbe ad un assurdo.

[lu_ca1]

e perchè sarebbe assurdo? ma la dimostrazione che ho pone direttamente =0 senza porre t come l'hai posto tu. non ci troviamo con la dimostrazione. Non lo so se è possibile ma vorrei portare avanti la dimostrazione più semplice perchè quella che ho è molto contorta.

[apatriarca]

Nella dimostrazione che hai manca un passaggio, ho cercato di riempire questo vuoto in un mio post precedente. La risposta è quindi tutta lì. Che cosa non hai capito esattamente di quello che ho fatto? Non ho usato nessun concetto particolarmente complicato. L'unico altro tentativo che faccio è quello di mostrarti il ragionamento in un caso analogo ma leggermente diverso. Siano [tex]a = 0[/tex], [tex]c[/tex] un numero reale positivo (o nullo) qualsiasi e [tex]b[/tex] un numero reale positivo (o nullo) incognito che devi cercare di ottenere. Supponiamo che siano legati dalla relazione [tex]a t^2 + 2 b t + c = 2 b t + c \ge 0[/tex] per ogni [tex]t \in \mathbb R[/tex] (anche negativo). La situazione è la stessa della tua dimostrazione prendendo [tex]a = \left< w, w \right> = 0[/tex], [tex]b = \left< w, v \right>[/tex] e [tex]c = \left< v, v \right> \ge 0[/tex]. Spero che fino a qua tu sia riuscito a seguirmi.

A questo punto hai la disequazione [tex]2 b t + c \ge 0[/tex] per ogni [tex]t \in \mathbb R[/tex] e iniziamo a considerare il caso [tex]c = 0[/tex] ([tex]\left< v, v \right> = 0[/tex] nella dimostrazione). In questo caso abbiamo che [tex]2 b t \ge 0[/tex] per ogni [tex]t \in \mathbb R[/tex] e quindi in particolare [tex]b \ge 0[/tex] e [tex]- b \ge 0[/tex] ([tex]t = \pm \frac 12[/tex]). Ma l'unico numero reale per cui valgono entrambe le relazione è [tex]0[/tex]. Abbiamo quindi dimostrato che se [tex]c[/tex] ([tex]\left< v, v \right>[/tex]) è nullo, lo deve essere anche [tex]b[/tex] ([tex]\left< w, v \right> = 0[/tex]). Consideriamo allora il caso in cui [tex]c \neq 0[/tex] e supponiamo per assurdo che anche [tex]b \neq 0[/tex]. Prendendo però [tex]t = - \frac{c}{b}[/tex] si ottiene [tex]-\frac{2cb}{b} + c = - c \ge 0[/tex] contro l'ipotesi che [tex]c > 0[/tex]. Per cui deve essere necessariamente [tex]b = 0[/tex] ([tex]\left< w, v \right> = 0[/tex] nella tua dimostrazione).

A questo punto nella dimostrazione hai trovato un vettore che è ortogonale a tutti i vettori dello spazio e quindi [tex]V^{\perp}[/tex] ha dimensione almeno uno.

[lu_ca1]

e avendo dimensione 1 di conseguenza è degenere! e cosa centra il fatto che v e w sono linearmente indipendenti? ora si che mi è un pò più chiara! (ps. t=-c/b l'hai scelto a priori tu? ) ..domanda.. perchè nella dimostrazione che $ >0$ $<0$ esiste un v0 tale che =0 sparisce il termine ?

[apatriarca]

[tex]t = -\frac cb[/tex] è stato scelto a caso in modo da avere una contraddizione, ma non era l'unica scelta possibile. Non è necessario che siano linearmente indipendenti. Il secondo vettore è un vettore qualsiasi (ma se fosse parallelo al primo non avrebbe molto senso fare tutti i calcoli perché il loro prodotto scalare sarebbe nullo per ipotesi. Non capisco in che senso dovrebbe sparire il prodotto scalare misto, se è successo è stata una svista probabilmente.

[lu_ca1]

nella seconda dimostrazione voglio dimostrare che con il prodotto scalare indefinito esiste un $v1 != 0$ tale che $ =0$
nella dimostrazione si scompare il prodotto scalare $$ e non capisco perchè (dove $$ definito negativo e $$ definito positivo). poi considera il prodotto scalare definito negativo moltiplicato per un numero c e lo rende uguale a quello positivo ed entrambi saranno maggiori di 0 e li arrivo alla contraddizione.
poi infine trova le soluzioni da un'equazione.
Devo avere un pò confuso le idee se mi facessi la dimostrazione davvero ti ringrazierei molto (comunque è in questa dimostrazione che ricorda che i due vettori sono linearmente indipendenti e non capisco cosa centri) . Davvero grazie mille per l'aiuto!

[lu_ca1]

ps.comunque nella prima dimostrazione ora che la sto rivedendo non mi dice c>= 0 quindi perchè dici che si risolverebbe subito così?

[apatriarca]

Rispondo prima all'ultima domanda. [tex]c \ge 0[/tex] perché il prodotto scalare è semidefinito positivo e quindi deve valere [tex]\left< v, v \right> \ge 0[/tex] per ogni [tex]v \in V[/tex]. Per l'altra non ho tempo di farlo adesso. La guarderò più tardi.