Prodotto scalare
Salve a tutti,
Purtroppo non riesco a capire il passaggio prodotto scalare e lunghezza. Il prodotto scalare associa a due vettori un numero scalare appartenente al campo dei numeri reali. Innanzitutto mi chiedo:" Perché occorrono due vettori per definire la lunghezza di un vettore? Lo stesso fatto che la lunghezza del vettore A sia la radice del prodotto scalare del vettore A per il vettore A non indica il contrario?". Cosa rappresenterebbe invece, in termini di lunghezza, il prodotto tra due vettori diversi?
Un'altra cosa non mi è chiara: per il prodotto scalare sono state definite le famose 4 proprietà, ma di certo io non posso accettarle e basta e mi chiedo:"perché sono state messe quelle 4 condizioni?". Ma forse questo ancora non mi è chiaro perché devo prima sapere la risposta alla prima domanda: perché associamo la lunghezza ricevendo in input due vettori e non semplicemente uno? Perché uno dei due deve essere il vettore di "riferimento"? Ma allora come si giustifica la lunghezza di un vettore che è la radice del prodotto scalare di sè stesso per sè stesso?
Grazie in anticipo per la risposta.
Purtroppo non riesco a capire il passaggio prodotto scalare e lunghezza. Il prodotto scalare associa a due vettori un numero scalare appartenente al campo dei numeri reali. Innanzitutto mi chiedo:" Perché occorrono due vettori per definire la lunghezza di un vettore? Lo stesso fatto che la lunghezza del vettore A sia la radice del prodotto scalare del vettore A per il vettore A non indica il contrario?". Cosa rappresenterebbe invece, in termini di lunghezza, il prodotto tra due vettori diversi?
Un'altra cosa non mi è chiara: per il prodotto scalare sono state definite le famose 4 proprietà, ma di certo io non posso accettarle e basta e mi chiedo:"perché sono state messe quelle 4 condizioni?". Ma forse questo ancora non mi è chiaro perché devo prima sapere la risposta alla prima domanda: perché associamo la lunghezza ricevendo in input due vettori e non semplicemente uno? Perché uno dei due deve essere il vettore di "riferimento"? Ma allora come si giustifica la lunghezza di un vettore che è la radice del prodotto scalare di sè stesso per sè stesso?
Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
Attenzione: il prodotto scalare associa una grandezza scalare (da cui il nome del prodotto) ad una coppia di vettori.
Se i vettori sono differenti, il prodotto scalare non coincide con la lunghezza di uno dei due.
La lunghezza di un vettore emerge quando il vettore in questione viene moltiplicato scalarmente per se stesso.
Precisamente: $||vec v||^2= Rightarrow ||vec v||=sqrt()$
Saluti.
Se i vettori sono differenti, il prodotto scalare non coincide con la lunghezza di uno dei due.
La lunghezza di un vettore emerge quando il vettore in questione viene moltiplicato scalarmente per se stesso.
Precisamente: $||vec v||^2=
Saluti.
Non sono stato preciso e ho sbagliato. Ma quello che intendevo era quello che hai scritto tu.
Il problema è: "Posso pensare che hanno inventato questo prodotto scalare solo per definire la lunghezza nel caso in cui si prendeva in input due vettori uguali? Non credo. Altrimenti avrebbero potuto fare un'applicazione che prendeva solo un vettore. Quindi ci deve essere altro. Ma cosa?".
Il problema è: "Posso pensare che hanno inventato questo prodotto scalare solo per definire la lunghezza nel caso in cui si prendeva in input due vettori uguali? Non credo. Altrimenti avrebbero potuto fare un'applicazione che prendeva solo un vettore. Quindi ci deve essere altro. Ma cosa?".
Salve.
Il prodotto scalare (almeno quello "canonico") trova innumerevoli applicazioni nel campo della fisica.
Esempio (tanto per citarne uno tra i tantissimi): dato un corpo, sottoposto ad una forza uniforme $vec F$ e che subisce uno spostamento $vec (Delta s)$, il lavoro $W$ (grandezza scalare) compiuto da quella forza si calcola in questo modo:
$W=vec F*vec (Delta s)$ (dove, qui, con il simbolo $*$ è stato indicato il prodotto scalare usuale).
In matematica, invece, il concetto di norma di un vettore, derivante dal prodotto scalare, serve per introdurre il concetto di distanza tra due vettori.
Saluti.
Il prodotto scalare (almeno quello "canonico") trova innumerevoli applicazioni nel campo della fisica.
Esempio (tanto per citarne uno tra i tantissimi): dato un corpo, sottoposto ad una forza uniforme $vec F$ e che subisce uno spostamento $vec (Delta s)$, il lavoro $W$ (grandezza scalare) compiuto da quella forza si calcola in questo modo:
$W=vec F*vec (Delta s)$ (dove, qui, con il simbolo $*$ è stato indicato il prodotto scalare usuale).
In matematica, invece, il concetto di norma di un vettore, derivante dal prodotto scalare, serve per introdurre il concetto di distanza tra due vettori.
Saluti.
"Kastighos":Gli angoli. Con un prodotto scalare si possono misurare, oltre alle lunghezze, pure gli angoli. Con una applicazione che prende solo un vettore, si possono misurare le distanze ma non gli angoli.
Posso pensare che hanno inventato questo prodotto scalare solo per definire la lunghezza nel caso in cui si prendeva in input due vettori uguali? Non credo. Altrimenti avrebbero potuto fare un'applicazione che prendeva solo un vettore. Quindi ci deve essere altro. Ma cosa?
Infatti, come giustamente dissonance fa presente, c'é l'applicazione del prodotto scalare (standard o usuale) inerente agli angoli.
Infatti: dati due vettori $vec v$ e $vec w$, si ha:
$vec v*vec w=vwcos alpha$, dove $alpha$ rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.
Quindi vale: $cos alpha=(vec v*vec w)/(vw)$
Saluti.
Infatti: dati due vettori $vec v$ e $vec w$, si ha:
$vec v*vec w=vwcos alpha$, dove $alpha$ rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.
Quindi vale: $cos alpha=(vec v*vec w)/(vw)$
Saluti.
Grazie molte. Adesso ho capito il motivo di tale stranezza.
Il prodotto scalare è una costruzione ulteriore. Prendiamo un insieme (buono) di punti e cominciamo a costruirci delle proprietà. Il primo esempio importantissimo è lo Spazio Vettoriale.
Ecco ora prendiamo uno Spazio Vettoriale e definiamo una forma bilineare(con tante buone proprietà che ora non sto ad elencare) simmetrica che associa a due vettori $\mathbf v$ e $\mathbf w$ di $V$ uno scalare, chiamiamo questa applicazione prodotto scalare, e scopriamo che tutto questo porta con se tantissime buone proprietà compresa l'importantissima "norma indotta" dal prodotto scalare. Quindi sono metrizzabili e tante altre cose che derivano proprio da questa costruzione.
Per approfondimenti su questi temi ti consiglio il Sernesi, non mi vergogno di ammettere che fino al secondo anno di Matematica avevo (ora spero un pò di meno) tantissima confusione su questi argomenti e quel librò salvò la mia vita.
Ecco ora prendiamo uno Spazio Vettoriale e definiamo una forma bilineare(con tante buone proprietà che ora non sto ad elencare) simmetrica che associa a due vettori $\mathbf v$ e $\mathbf w$ di $V$ uno scalare, chiamiamo questa applicazione prodotto scalare, e scopriamo che tutto questo porta con se tantissime buone proprietà compresa l'importantissima "norma indotta" dal prodotto scalare. Quindi sono metrizzabili e tante altre cose che derivano proprio da questa costruzione.
Per approfondimenti su questi temi ti consiglio il Sernesi, non mi vergogno di ammettere che fino al secondo anno di Matematica avevo (ora spero un pò di meno) tantissima confusione su questi argomenti e quel librò salvò la mia vita.
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