Prodotto scalare

[LUCIANO741]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul prodotto scalare.
Si dice che il prodotto scalare è un "prodotto interno"; ma se associa a due vettori di $R^n$ uno scalare, lo scalare che ottengo non appartiene allo spazio vettoriale $R^n$. Non si tratta quindi di un "prodotto esterno" ?

In altre parole non è una legge di composizione interna e quindi perchè si dice che è un "prodotto interno" ?


grazie 1000 a tutti

[DKant10]

Una legge di composizione è un'applicazione definita sul prodotto cartesiano di due insiemi $A$ e $B$:
se i due insiemi coincidono si dice interna, altrimenti si dice esterna.

esempio 1: fare il prodotto scalare di due elementi di $R^n$ è una legge interna perché moltiplico due elementi che appartengono entrambi ad $R^n$;

esempio 2: in fisica e/o geometria avrai visto il prodotto di un vettore per uno scalare, quella è una legge esterna perché moltiplico elementi che appartengono a insiemi diversi: l'insieme dei vettori e l'insieme degli scalari.

Come vedi il fatto che una legge di composizione sia interna o meno dipende soltanto dallo spazio dove è definita e non dallo spazio dei "risultati"!

[LUCIANO741]

grazie per la risposta, quindi se ho capito anche il prodotto vettoriale è una legge di composizione interna.
Ma perchè allora il prodotto vettoriale è definito come "prodotto esterno" ?

grazie ancora