Prodotto misto
Ho visto su un libro un esercizio già svolto sul prodotto misto di tre vettori:
$u=(2,-3,1)$
$v=(5,6,2)$
$w=(3,2,-1)$
e trova il prodotto misto $(uxv)*w$ come determinante della matrice associata a quei tre vettori.
$((2,-3,1),(5,6,2),(3,2,-1))$
da ciò posso affermare che il determinante della matrice altro non è che il prodotto misto di tre vettori?
$u=(2,-3,1)$
$v=(5,6,2)$
$w=(3,2,-1)$
e trova il prodotto misto $(uxv)*w$ come determinante della matrice associata a quei tre vettori.
$((2,-3,1),(5,6,2),(3,2,-1))$
da ciò posso affermare che il determinante della matrice altro non è che il prodotto misto di tre vettori?
Risposte
Certo che no. E' vero che:
dati tre vettori di $RR^3$ (oppure le coordinate di tre vettori dello spazio rispetto ad una terna ortonormale) il loro prodotto misto è il determinante della matrice delle loro componenti, prese in ordine (se cambia l'ordine cambia il segno del prodotto misto).
Ma lo devi dimostrare, non ti basta verificare che questo è vero su un esempio.
dati tre vettori di $RR^3$ (oppure le coordinate di tre vettori dello spazio rispetto ad una terna ortonormale) il loro prodotto misto è il determinante della matrice delle loro componenti, prese in ordine (se cambia l'ordine cambia il segno del prodotto misto).
Ma lo devi dimostrare, non ti basta verificare che questo è vero su un esempio.
Ovviamente non so dimostrarlo xD
Ma va bene cosi, mi basta la tua definizione di prodotto misto. (a livello geometrico).
In fisica userei la stessa definizione? Perchè anche sui libri non si soffermano su questo argomento.
(ritorno a dire che questo esercizio svolto è su un libro non in adozione del professore)
Ma va bene cosi, mi basta la tua definizione di prodotto misto. (a livello geometrico).
In fisica userei la stessa definizione? Perchè anche sui libri non si soffermano su questo argomento.
(ritorno a dire che questo esercizio svolto è su un libro non in adozione del professore)
Continui a confonderti tra "definizione" e "proposizione".
Definizione: Siano $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ tre vettori nello spazio tridimensionale. Si chiama prodotto misto di $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ (in questo ordine) il numero reale
$vec{a}*(vec{b}times vec{c})$. [Fine definizione]
Ora possiamo dimostrare una
Proposizione: Siano $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ tre vettori nello spazio tridimensionale, e sia $vec{i}, vec{j}, vec{k}$ una terna cartesiana ortonormale, orientata secondo la regola della mano destra. (Tu che studi fisica non dovresti sorprenderti di questo, come sai quando ci sono prodotti vettoriali la scelta dell'orientazione dei sistemi di riferimento è importante).
Supponiamo che
$vec{a}=a_1vec{i}+a_2vec{j}+a_3vec{k}$;
$vec{b}=b_1vec{i}+b_2vec{j}+b_3vec{k}$;
$vec{c}=c_1vec{i}+c_2vec{j}+c_3vec{k}$.
Allora
$vec{a}*(vec{b}times vec{c})=det[[a_1, a_2, a_3], [b_1, b_2, b_3], [c_1, c_2, c_3]]$.
[Qui ci andrebbe la dimostrazione, ma è una scocciatura e direi che possiamo risparmiarcela.
]
Definizione: Siano $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ tre vettori nello spazio tridimensionale. Si chiama prodotto misto di $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ (in questo ordine) il numero reale
$vec{a}*(vec{b}times vec{c})$. [Fine definizione]
Ora possiamo dimostrare una
Proposizione: Siano $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ tre vettori nello spazio tridimensionale, e sia $vec{i}, vec{j}, vec{k}$ una terna cartesiana ortonormale, orientata secondo la regola della mano destra. (Tu che studi fisica non dovresti sorprenderti di questo, come sai quando ci sono prodotti vettoriali la scelta dell'orientazione dei sistemi di riferimento è importante).
Supponiamo che
$vec{a}=a_1vec{i}+a_2vec{j}+a_3vec{k}$;
$vec{b}=b_1vec{i}+b_2vec{j}+b_3vec{k}$;
$vec{c}=c_1vec{i}+c_2vec{j}+c_3vec{k}$.
Allora
$vec{a}*(vec{b}times vec{c})=det[[a_1, a_2, a_3], [b_1, b_2, b_3], [c_1, c_2, c_3]]$.
[Qui ci andrebbe la dimostrazione, ma è una scocciatura e direi che possiamo risparmiarcela.
]
Ma è perfetto! Potresti scrivere un libro.
Grazie!
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