Prodotto matrici e determinante

[FrederichN.]

Ciao a tutti!
Scusate la lunga serie di dubbi da me postati in queste settimane, ma si sa, gli esami si avvicinano e..

Ho questo problemino:

Sia :

$ M = A*B , A in M_(n,p) (k) e B in M_(p,n) (k) $

Dimostrare che se n>p , det(M)=0


Maledizione, non so da dove partire !

[dissonance]

Forza, forza, che è facile. Ricordati che il determinante di una matrice è zero se e solo se essa non ha rango massimo. Se $n>p$, può $M=AB$ avere rango massimo $n$?

[FrederichN.]

Maledzione , è vero !!

Ho appena ricordato che :

$rg(AB) <_= min(rg(A), rg(B)) $


Ok ok , lo ammetto, sono un'idiota.

Grazie mille Dissonance, illuminante come al solito ! ..(ancora qualche risposta e mi sa che presto sarò in debito con te di qualche birra )

[misanino]

"FrederichN.":

Ho appena ricordato che :

$rg(AB) <_= min(rg(A), rg(B)) $

Mi permetto di intromettermi per porre una domanda.
Anch'io conosco bene la relazione riportata, ma non ho la minima idea di come si dimostri.
Qualcuno potrebbe indicarmi un link, o un libro in cui posso trovare la dimostrazione.
Grazie

[dissonance]

La puoi trovare in questa dispensa, pag.75 (questa è una dimostrazione astratta); se cerchi nella dispensa ce n'è anche un'altra versione.

[edit] La "altra versione" è l'esercizio 3.18 di pagina 95. Mi ricordavo ci fosse la dimostrazione, invece la lascia per esercizio.