Prodotto matrici definite positive
Ragazzi un aiutino per favore, mi servirebbe sapere se il prodotto tra due matrici definite positive è una matrice definita positiva e se è commutativo.... non riesco a trovare una dimostrazione per questo spero che qualcuno mi aiuto GRAZIE!!!
Risposte
Vi spiego meglio a cosa mi serve ho questo esercizio
Siano A,B,C appartenenti a $R^(nxn)$ tali che B e sono definite positive e A è simmetrica
(a) Dare le condizioni necessarie e sufficenti su A affinchè $A^2$ sia definita positiva:
io questo l'ho risolto così: sappiamo che A è simmetrica che è una condizione necessaria ma non sufficente per essere definita positiva, poi possiamo dire che gli autovalori di A sono tutti positivi e quindi $A*x=\lambda*x$ perciò $A^2*x=\lambda^2*x$ e quindi continueranno ad essere positivi e la matrice $A^2$ sarà definita positiva secondo voi può essere corretto??
(b) mostrare che $B^2$ è definita positiva. Questo è analogo al punto (a)
(c) dimostrare che la matrice BCB è definita positiva. Questo punto mi crea problemi... allora posso dire che il prodotto tra matrici definite positive è commutativo? se è commutativo allora avremo $B^2*C$ quindi avremo di nuovo il prodotto tra due matrici definite positive e quindi la matrice risultante sarà definita positiva però devo dimostrarlo e sinceramente la dimostrazione mi sfugge
Siano A,B,C appartenenti a $R^(nxn)$ tali che B e sono definite positive e A è simmetrica
(a) Dare le condizioni necessarie e sufficenti su A affinchè $A^2$ sia definita positiva:
io questo l'ho risolto così: sappiamo che A è simmetrica che è una condizione necessaria ma non sufficente per essere definita positiva, poi possiamo dire che gli autovalori di A sono tutti positivi e quindi $A*x=\lambda*x$ perciò $A^2*x=\lambda^2*x$ e quindi continueranno ad essere positivi e la matrice $A^2$ sarà definita positiva secondo voi può essere corretto??
(b) mostrare che $B^2$ è definita positiva. Questo è analogo al punto (a)
(c) dimostrare che la matrice BCB è definita positiva. Questo punto mi crea problemi... allora posso dire che il prodotto tra matrici definite positive è commutativo? se è commutativo allora avremo $B^2*C$ quindi avremo di nuovo il prodotto tra due matrici definite positive e quindi la matrice risultante sarà definita positiva però devo dimostrarlo e sinceramente la dimostrazione mi sfugge
L'ho risolto così qualcuno che ne capisce può verificare la correttezza
Essendo B e C definite positive possiamo dire che: sono invertibili, hanno determinante positivo e che sono simmetriche quindi il prodotto sarà una matrice simmetrica (essendo il prodotto di due matrici simmetriche una matrice simmetrica) sarà invertibile(essendo il prodotto di due matrici invertibili una matrice invertibile) e avrà determinante positivo in quanto il determinante della matrice risultante sarà dato dalla moltiplicazione degli autovalori delle matrici di partenza che essendo definite positive hanno autovalori positivi.
Quindi otterremo K= BC definita positiva e di conseguenza anche la matrice L=KB=BCB sarà definita positiva
(d) Dire se la matrice CB è definita positiva. Dal punto (c) vediamo che è definita positiva
Essendo B e C definite positive possiamo dire che: sono invertibili, hanno determinante positivo e che sono simmetriche quindi il prodotto sarà una matrice simmetrica (essendo il prodotto di due matrici simmetriche una matrice simmetrica) sarà invertibile(essendo il prodotto di due matrici invertibili una matrice invertibile) e avrà determinante positivo in quanto il determinante della matrice risultante sarà dato dalla moltiplicazione degli autovalori delle matrici di partenza che essendo definite positive hanno autovalori positivi.
Quindi otterremo K= BC definita positiva e di conseguenza anche la matrice L=KB=BCB sarà definita positiva
(d) Dire se la matrice CB è definita positiva. Dal punto (c) vediamo che è definita positiva
guarda veramente sto brancolando nel buio l'unica dimostrazione per risolvere l'esercizio che mi è venuta in mente è questa che sfrutta le propietà che ho elencato e il corollario del teorema degli autovalori positivi il corollario dice che "una matrice definita positiva è invertibile e ha determinante positivo" in più si chiedeva anche nell'esercizio di dimostrare più in generale che un prodotto palindromo di matrici definite positive è una matrice definita positiva quindi.... sottolineo ma sicuramente si è capito che non sono uno studente di matematica e che quindi mi è difficile muovermi in mezzo a tutti questi concetti teorici vorrei capire se quello che ho scritto nel post sopra può essere plausibile o sono solo una mareo di cavolate 
Confermo, confermo quanto dice Sergio: se due matrici definite positive non commutano può succedere che il prodotto non sia definito positivo.
ok grazie adesso ci lavoro un pò sopra poi faccio sapere cosa ho tirato fuori grazie mille dell'aiuto!!!!
"Sergio":
due matrici commutano se e solo se sono simultaneamente diagonalizzazibili.
Aspetta aspetta, no. Questo non mi convince. Se tu la dici così è falsa: prendi una matrice non diagonalizzabile $A$, che evidentemente commuta con se stessa. Invece è vero che due matrici diagonalizzabili lo sono simultaneamente se e solo se esse commutano. Quindi il resto del tuo post può proseguire così: due matrici definite positive $A$ e $B$ che commutano sono singolarmente diagonalizzabili perché simmetriche, e quindi simultaneamente diagonalizzabili per il risultato citato. Inoltre le due matrici possono essere diagonalizzate in base ortonormale, ovvero è possibile prendere una matrice diagonalizzante ortogonale. Se $S$ è una matrice siffatta allora
\begin{align*}
S^{T}ABS
&=\begin{bmatrix} \lambda_1 && \\ & \ddots & \\ && \lambda_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mu_1 && \\ & \ddots & \\ && \mu_n \end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix} \lambda_1\mu_1 && \\ & \ddots & \\ && \lambda_n\mu_n \end{bmatrix},
\end{align*}
dove i $\lambda_i$ sono gli autovalori di $A$ e i $\mu_i$ sono gli autovalori di $B$. Essendo $A$ e $B$ definite positive si ha $\lambda_i, \mu_i >0$ per ogni $i$ e quindi anche $\lambda_i\mu_i>0$ per ogni $i$. In particolare, la matrice prodotto $AB$ è congruente ad una matrice diagonale con entrate strettamente positive, quindi $AB$ è congruente ad una matrice definita positiva ed è essa stessa definita positiva.
mi era venuto in mente anche a me che si poteva dimostrare con gli autovalori... comunque ho trovato un teorema che dice che "ogni coppia di matrici quadrate e simmetriche tale che almeno una delle due sia def. pos. ammette una matrice $R$ invertibile(aggiungo ortogonale) che le diagonalizza simultaneamente"
quindi (se sbaglio correggetemi) abbiamo:
$(R^tDaR*R^tDbR)^t=(AB)^t$
$R^tDaR*RtDbR=B^tA^t=R^tDaR*R^tDbR=BA$ sostituendo con le matrici originali a sinistra $AB=BA$ giusto o no??
ma semplicemente non bastava dire, essendo tutte simmetriche, che:
$AB=(AB)^t=B^tA^t=BA$ può essere giusto?
alla luce di queste considerazioni le matrici commutano sono def. pos. quindi il loro prodotto è def. pos. no???
quindi (se sbaglio correggetemi) abbiamo:
$(R^tDaR*R^tDbR)^t=(AB)^t$
$R^tDaR*RtDbR=B^tA^t=R^tDaR*R^tDbR=BA$ sostituendo con le matrici originali a sinistra $AB=BA$ giusto o no??
ma semplicemente non bastava dire, essendo tutte simmetriche, che:
$AB=(AB)^t=B^tA^t=BA$ può essere giusto?
alla luce di queste considerazioni le matrici commutano sono def. pos. quindi il loro prodotto è def. pos. no???
comunque per il mio professore questo doveva essere un esercizio semplice... a me non sembra tanto semplice
grazie si appunto stavo correggendo il primo punto avevo scritto una cavolata ma ripeto non sono un matematico e quindi mi rimane difficile fare certe dimostrazioni... sulle mie dispense è scritto testualmente che una matrice è definita positiva se è simmetrica e ecc... ecc.. comunque grazie ora ho capito come risolvere l'esercizio!
"ricky211476":Perché qua sia io sia Sergio andiamo di fretta e abbiamo risolto un esercizio più difficile di quello che ti hanno assegnato. Io poi ho scritto rapidamente e quindi ho scritto in matematichese: quando in un testo di un matematico leggi l'aggettivo "siffatto", occhio!!!
comunque per il mio professore questo doveva essere un esercizio semplice... a me non sembra tanto semplice
Significa che sta scrivendo di fretta senza ragionare bene. Dimostrare che \(A^2=A^TA\) è definita positiva, ad esempio, è più facile. Si tratta solo di verificare la definizione.
si si capisco comunque grazie mille ho imparato molto dalle vostre spiegazioni!
comunque grazie mille ho imparato molto dalle vostre spiegazioni!
fermi tutti faccio una premessa tutta questa mia discussione parte da una cosa letta su queste dispense http://www.dm.unibo.it/~montelau/html/Lezioni6-7.pdf
in cui c'è scritto che il prodotto di matrici definite positive è ancora definita positiva ma con un semplice controesempio questo viene smentito infatti per definizione, ne ho trovato conferma anche su un post in questo forum, una matrice è definita positiva se è simmetrica e se $x^tAx>0$ quindi se noi prendiamo $A$ e $B$ entrambe definite positive:
\(\displaystyle {A}={\left(\matrix{{5}&{1}\\{1}&{4}}\right)} \) e \(\displaystyle {B}={\left(\matrix{{4}&{1}\\{1}&{4}}\right)} \)
facendo $AB=$\(\displaystyle {\left(\matrix{{21}&{9}\\{8}&{17}}\right)} \) che non è simmetrica quindi non è definita positiva.
quindi è vero che il loro prodotto sarà definito positivo se commutano ma, non è sempre vero che commutano.. anche se per il teorema di diagonalizzazione simultanea questo dovrebbe essere vero però... qui http://www.scribd.com/doc/73686431/64/D ... ultanea-II a pagina 162 c'è scritto che se due matrici simmetriche tali che almeno una sia def. pos. sono simultaneamente diagonalizzabili non necessariamente commutano e porta un controesempio simile a quello che ho trovato io.
mentre facendo un prodotto palindromo di matrici def. pos. $ABA$ avremo una matrice definita positiva infatti $x^tABAx>0 \Rightarrow x^tA^tBAx>0 \Rightarrow (Ax)^tBAx>0$ sotituendo ad $Ax$ il vettore $y$ avremo $y^tBy>0$ che è vero essendo $B$ definita positiva.
comunque posso sempre sbagliarmi....
in cui c'è scritto che il prodotto di matrici definite positive è ancora definita positiva ma con un semplice controesempio questo viene smentito infatti per definizione, ne ho trovato conferma anche su un post in questo forum, una matrice è definita positiva se è simmetrica e se $x^tAx>0$ quindi se noi prendiamo $A$ e $B$ entrambe definite positive:
\(\displaystyle {A}={\left(\matrix{{5}&{1}\\{1}&{4}}\right)} \) e \(\displaystyle {B}={\left(\matrix{{4}&{1}\\{1}&{4}}\right)} \)
facendo $AB=$\(\displaystyle {\left(\matrix{{21}&{9}\\{8}&{17}}\right)} \) che non è simmetrica quindi non è definita positiva.
quindi è vero che il loro prodotto sarà definito positivo se commutano ma, non è sempre vero che commutano.. anche se per il teorema di diagonalizzazione simultanea questo dovrebbe essere vero però... qui http://www.scribd.com/doc/73686431/64/D ... ultanea-II a pagina 162 c'è scritto che se due matrici simmetriche tali che almeno una sia def. pos. sono simultaneamente diagonalizzabili non necessariamente commutano e porta un controesempio simile a quello che ho trovato io.
mentre facendo un prodotto palindromo di matrici def. pos. $ABA$ avremo una matrice definita positiva infatti $x^tABAx>0 \Rightarrow x^tA^tBAx>0 \Rightarrow (Ax)^tBAx>0$ sotituendo ad $Ax$ il vettore $y$ avremo $y^tBy>0$ che è vero essendo $B$ definita positiva.
comunque posso sempre sbagliarmi....
a questo punto alzo le mani e mi arrendo non ho le conoscenze sufficenti per continuare ad affrontare questo argomento....
Aspetta aspetta Sergio, una cosa. Di solito quando uno richiede ad una matrice di essere "definita positiva", chiede implicitamente che sia simmetrica. Solo in certi contesti particolari (che non conosco) si lascia cadere l'ipotesi di simmetria. Il professore di ricky segue la prima convenzione: quindi una matrice $A$ si dice "definita positiva" se è simmetrica e se verifica
\begin{equation*}
x^TAx > 0\quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}^n,\ x \ne 0.
\end{equation*}
Per questo l'ultimo quesito che hai aperto è vuoto: con le convenzioni adottate, le matrici definite positive sono sempre diagonalizzabili e si possono prendere matrici diagonalizzanti ortogonali, per il teorema spettrale.
Nota per Sergio (@riky: non leggere quanto segue se rischi di confonderti. A te non serve): io sospetto che se lasci cadere l'ipotesi di simmetria, la tesi è falsa. Ovvero, secondo me esistono due matrici commutanti, non entrambe simmetriche ma entrambe definite positive nel senso di Sergio e tali che il loro prodotto non è definito positivo nel senso di Sergio. Ma è una mia congettura, così a intuito. (Io ho un esame dopodomani, l'ultimo della mia carriera universitaria, e devo ancora iniziare a studiare, pensa. )
\begin{equation*}
x^TAx > 0\quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}^n,\ x \ne 0.
\end{equation*}
Per questo l'ultimo quesito che hai aperto è vuoto: con le convenzioni adottate, le matrici definite positive sono sempre diagonalizzabili e si possono prendere matrici diagonalizzanti ortogonali, per il teorema spettrale.
Nota per Sergio (@riky: non leggere quanto segue se rischi di confonderti. A te non serve): io sospetto che se lasci cadere l'ipotesi di simmetria, la tesi è falsa. Ovvero, secondo me esistono due matrici commutanti, non entrambe simmetriche ma entrambe definite positive nel senso di Sergio e tali che il loro prodotto non è definito positivo nel senso di Sergio. Ma è una mia congettura, così a intuito. (Io ho un esame dopodomani, l'ultimo della mia carriera universitaria, e devo ancora iniziare a studiare, pensa. )
guardate ho mandato una mail al mio professore e mi ha risposto, cito le sue testuali parole:"Il prodotto di matrici simmetriche non è necessariamente simmetrico, quindi salta la definita positività."
Tutta la mia discussione parte dal fatto che negli appunti che ho allegato sopra c'è scritto che IL PRODOTTO TRA MATRICI DEFINITE POSITIVE E' DEFINITA POSITIVA io basandomi su questo dovevo dimostrare che era vero.... l'unico modo per dimostrare che è vero è la commutazione...
comunque ho mandato una mail anche alla professoressa che ha scritto questi appunti citando il controesempio che ho fatto allcuni messaggi fa ora vedremo cosa risponde..
Tutta la mia discussione parte dal fatto che negli appunti che ho allegato sopra c'è scritto che IL PRODOTTO TRA MATRICI DEFINITE POSITIVE E' DEFINITA POSITIVA io basandomi su questo dovevo dimostrare che era vero.... l'unico modo per dimostrare che è vero è la commutazione...
comunque ho mandato una mail anche alla professoressa che ha scritto questi appunti citando il controesempio che ho fatto allcuni messaggi fa ora vedremo cosa risponde..
si si infatti vi ringrazio e faccio anche io l'imbocca al lupo a dissonance e comunque alla fine l'esercizio come l'ho risolto sopra al mio professore sta bene quindi quindi al fine di passare l'esame mi va bene poi mi piacerebbe approfondire l'argomento
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