Prodotto fra più vettori e matrici
Sto facendo l'esame di meccanica razionale, ma vi giuro che non riesco a venire a capo di questo risultato!
Il prof mi chiede di calcolare
$\Phi(P,t,n) = C [ (n * W * x ) * x + (n * x )* W * x ] $
dove n è un versore generico di componenti $ n = (n1, n2, n3) $ e $ x = ( x1, x2, x3)$ mentre W è la matrice $((0,2,0),(0,0,5),(3,0,0))$
Dunque, nel caso qualcuno non lo sappia, vi dico che il risultato di questa tutta roba deve venire un vettore, all'interno delle basi $ e1 e1 e3$ ci devono essere delle "sottobasi" (permettetemi il termine) fatte da $ n1 n2 n3$.
Questo perchè lo sforzo, che mi chiede di calcolare il prof, è dato dal prodotto di un tensore T per il versore n.
Mi aiutate in questo conto? Sarà la decima volta che lo rifaccio ma non mi torna mai !!
Il prof mi chiede di calcolare
$\Phi(P,t,n) = C [ (n * W * x ) * x + (n * x )* W * x ] $
dove n è un versore generico di componenti $ n = (n1, n2, n3) $ e $ x = ( x1, x2, x3)$ mentre W è la matrice $((0,2,0),(0,0,5),(3,0,0))$
Dunque, nel caso qualcuno non lo sappia, vi dico che il risultato di questa tutta roba deve venire un vettore, all'interno delle basi $ e1 e1 e3$ ci devono essere delle "sottobasi" (permettetemi il termine) fatte da $ n1 n2 n3$.
Questo perchè lo sforzo, che mi chiede di calcolare il prof, è dato dal prodotto di un tensore T per il versore n.
Mi aiutate in questo conto? Sarà la decima volta che lo rifaccio ma non mi torna mai !!
Risposte
Dunque, credo che ci vogliano un po di "trasposizioni". Visto che indichi i vettori come righe, i vettori colonna saranno trasposti. Pertanto potremo scrivere quel prodotto così
$$C[(n\ W\ x^t)\ x^t+(n\ x^t)\ W\ x^t]$$
In questo modo, viene fuori effettivamente un vettore colonna. Facendo un po' di conti
$$n\ W\ x^t=n\left(\begin{array}{c} 2x_2\\ 5x_3\\ 3x_1\end{array}\right)=2n_1 x_2+5n_2 x_3+3n_3 x_1=\alpha$$
$$(n\ x^t)=n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=\beta$$
e pertanto alla fine sei ridotta a calcolare la cosa seguente
$$C[\alpha\ I_3+\beta\ W]\ x^t$$
essendo $I_3$ la matrice identica di ordine $3$.
$$C[(n\ W\ x^t)\ x^t+(n\ x^t)\ W\ x^t]$$
In questo modo, viene fuori effettivamente un vettore colonna. Facendo un po' di conti
$$n\ W\ x^t=n\left(\begin{array}{c} 2x_2\\ 5x_3\\ 3x_1\end{array}\right)=2n_1 x_2+5n_2 x_3+3n_3 x_1=\alpha$$
$$(n\ x^t)=n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=\beta$$
e pertanto alla fine sei ridotta a calcolare la cosa seguente
$$C[\alpha\ I_3+\beta\ W]\ x^t$$
essendo $I_3$ la matrice identica di ordine $3$.
Io li ho indicati così i vettori, ma il prof non dice nulla a riguardo.
Avevo pensato, per il primo blocco di mettere n come riga , che quindi moltiplicata per la matrice mi viene sempre una riga. La riga moltiplicata per x in colonna mi da una matrice. La matrice moltiplicata per x in colonna mi da un vettore colonna.
Idem per il secondo blocco.
Non ho capito granchè cosa intendi.
Avevo pensato, per il primo blocco di mettere n come riga , che quindi moltiplicata per la matrice mi viene sempre una riga. La riga moltiplicata per x in colonna mi da una matrice. La matrice moltiplicata per x in colonna mi da un vettore colonna.
Idem per il secondo blocco.
Non ho capito granchè cosa intendi.
Esattamente quello che hai appena detto tu. 
Cavolo che cosa curiosa allora 
se il metodo è lo stesso (io spiegato proprio alla contadina insomma eh ahah) dovrebbe tornare ... invece con quello che hai scritto tu torna, invece col mio metodo no! Tornano tutti gli n e le x invertite ...
Più che altro pensavo di non poter fare le moltiplicazioni a mio piacimento, ma di dover seguire l'ordine in cui mi venivano poste ... avevo un vago ricordo di geometria che diceva che i prodotti righe per colonne non erano commutativi !!
se il metodo è lo stesso (io spiegato proprio alla contadina insomma eh ahah) dovrebbe tornare ... invece con quello che hai scritto tu torna, invece col mio metodo no! Tornano tutti gli n e le x invertite ...Più che altro pensavo di non poter fare le moltiplicazioni a mio piacimento, ma di dover seguire l'ordine in cui mi venivano poste ... avevo un vago ricordo di geometria che diceva che i prodotti righe per colonne non erano commutativi !!
Infatti non lo sono. Tuttavia, devi eseguire prima le operazioni tra parentesi (come ho fatto io) e poi procedere con le restanti. Quello che sbagli è che se moltiplichi una riga per una colonna, ottieni uno scalare (infatti spesso in meccanica la moltiplicazione $v w^t$, essendo $v,\ w$ vettori riga, equivale al prodotto scalare di vettori). Invece la moltiplicazione fatta così: $v^t\ w$ (cioè colonna-riga) fornisce una matrice.
Aaaaahhhh era questo dei vettori riga e colonna ... avevo un vago ricordo anche di questo, ma non preciso ... grazie!
Senza tirare in ballo la trasposizione, io posso anche fare direttamente il prodotto scalare di n e x, mettendoli tutti e due in colonna per caso ?
Senza tirare in ballo la trasposizione, io posso anche fare direttamente il prodotto scalare di n e x, mettendoli tutti e due in colonna per caso ?
No: come fai a moltiplicare due colonne? Ricorda che il prodotto tra matrici (i vettori ne sono un caso particolare) è possibile quando la matrice a sinistra ha un numero di colonne pari alle righe di quella a destra.
Scusa, adesso divago ma ... ad esempio il prodotto tensoriale si fa fra una riga e una colonna, e viene una matrice. E' diverso rispetto al prodotto scalare quindi ?
Certo che sì: riga a sinistra, colonna a destra forniscono uno scalare, colonna a sinistra, riga a destra forniscono una matrice. E' il secondo che puoi definire come prodotto tensoriale.
Che domanda idiota che ho fatto ... ok adesso ci sono 
provo a rifare il calcolo di quell'esercizio e ti dico se torna !
provo a rifare il calcolo di quell'esercizio e ti dico se torna !
Sono della scuola di pensiero per cui "quando ti rendi conto di esserti comportato da stupido, hai fatto un passo avanti verso il miglioramento"! Per cui va benissimo, non ti preoccupare!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo