Prodotto euclideo

[Kroldar]

In $RR^n$ il prodotto scalare euclideo è tale che, dati i vettori $x$ e $y$, risulta

$(x,y) = x_1y_1 + x_2y_2 + ... x_ny_n$

dove con $x_i$ si denota ciascuna delle $n$ proiezioni del vettore $x$ sulla base canonica.

Ora mi domando... Il prodotto scalare euclideo può essere calcolato soltanto conoscendo le proiezioni di ogni vettore sulla base canonica oppure può essere trovato note le proiezioni dei vettori lungo qualunque base? Se si cambia base, come si modifica il prodotto scalare euclideo? Rimane invariato oppure varia al variare della base?

[fireball1]

Magari è una risposta idiota o sbagliata, nel senso
che forse non è quello che tu richiedi, ma puoi calcolare
il prodotto scalare rispetto a un'altra base appoggiandoti
su quello definito rispetto alla base canonica.
Se $<<*,*>>$ è il prodotto scalare canonico, data
una qualunque base $ccB={v_1,v_2,...,v_n}$ di $RR^n$
il prodotto scalare tra due vettori $x$ e $y$ di $RR^n$
rispetto alla nuova base $ccB$ diventa (chiamiamolo $**$):
$x**y=<>y_1 + <>y_2 + ... + <>y_n = sum_(k=1)^n <>y_k

[Luca.Lussardi]

E' una questione sottile; c'è un errore di nomenclatura in quanto detto da kroldar: il prodotto scalare canonico in $\RR^n$ non è la somma dei prodotti delle coordinate dei vettori rispetto alla base canonica, ma se $x=(x_1,...,x_n)$ e $y=(y_1,...,y_n)$ allora $(x|y)=\sum_(k=1)^n x_ky_k$. Gli scalari $x_k$ sono le componenti dei vettori; che poi siano anche le coordinate rispetto alla base canonica è "un caso".

[fireball1]

"Luca.Lussardi":$x=(x_1+...+x_n)$

Qui volevi scrivere $x=(x_1,...,x_n)$ immagino...
Comunque è la stessa domanda che mi sono posto anch'io...

[Luca.Lussardi]

Ho editato; comunque sì, certo che cambia al cambiare della base, ovvero cambia la formula che permette di calcolarlo, ma non cambia come valore. Il valore è univocamente determinato dalla sua definizione, che non è una definizione in coordinate.

[fireball1]

"Luca.Lussardi":Il valore è univocamente determinato dalla sua definizione, che non è una definizione in coordinate.

E' proprio quello che pensavo infatti, ma avevo dubbi, ora però chiariti.