Prodotto di varietà

[andreasvr]

Buon giorno,
volevo chiedere se qualcuno mi può aiutare con questo problema:
Date due varietà differenziabili con bordo M, N, con $\partial M =0$, si mostri che la varietà prodotto $M \times N$ ha una struttura differenziabile naturale, costruendo un atlante per $M \times N$ utilizzando un atlante di M e uno di N.
Sono riuscito in questo punto, però non riesco a capire perchè una delle due varietà debba avere bordo nullo.
Nel cercare un controesempio ho considerato la varietà $[0,1) \times [0,1)$ e sto cercando di mostrare che essa non può essere diffeomorfa a $R \times [0, \infty]$, con il bordo della varietà che va in ${x=0}$. Credo che ciò si argomenti dicendo che in $(0,0)$ lo spazio tangente non è ben definito, e se esistesse un diffeomorfismo lo jacobiano dovrebbe avere rango massimo...è però solo una cosa intuitiva che non riesco a formalizzare. Come posso fare?
Inoltre, nel caso generale, e non in questo specifico, come posso argomentare la necessità che una delle due varietà debba avere bordo vuoto?
Grazie dell'attenzione