Prodotto di permutazioni cicliche
Ciao ragazzi, sono nuovo del forum ma visto che avete sempre una risposta per tutti, volevo chiedervi se qualcuno di voi potesse spiegarmi un esercizio.
L'esercizio è questo:
nel gruppo simmetrico $S_6$ sono assegnate come prodotto di permutazioni cicliche le due permutazioni [tex]\sigma = (136)(34)(125)[/tex] e [tex]\tau = (243)(3456)(12)[/tex]. Scrivere le permutazioni [tex]\sigma[/tex] , [tex]\tau[/tex], [tex]\sigma\tau[/tex] e [tex]\tau\sigma[/tex] come prodotti di cicli disgiunti ed indicarne di ciascuno il perido.
Vi chiedo se qualcuno potesse spiegarmi solo il procedimento per calcolare [tex]\sigma[/tex] in modo da poter fare gli altri da solo. Grazie mille.
L'esercizio è questo:
nel gruppo simmetrico $S_6$ sono assegnate come prodotto di permutazioni cicliche le due permutazioni [tex]\sigma = (136)(34)(125)[/tex] e [tex]\tau = (243)(3456)(12)[/tex]. Scrivere le permutazioni [tex]\sigma[/tex] , [tex]\tau[/tex], [tex]\sigma\tau[/tex] e [tex]\tau\sigma[/tex] come prodotti di cicli disgiunti ed indicarne di ciascuno il perido.
Vi chiedo se qualcuno potesse spiegarmi solo il procedimento per calcolare [tex]\sigma[/tex] in modo da poter fare gli altri da solo. Grazie mille.
Risposte
Vi sono molti esercizi simili nella sezione di algebra.
Comunque:
\(\displaystyle 1\mapsto 2 \) quindi \(\displaystyle (12 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 5 \) quindi \(\displaystyle (125 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 1 \mapsto 3 \) quindi \(\displaystyle (1253 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 4 \) quindi \(\displaystyle (12534 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 3 \mapsto 6 \) quindi \(\displaystyle (125346 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 1 \) quindi \(\displaystyle \sigma = (125346) \)
Se ci fossero stati due cicli avresti dovuto, finito il primo, ripartire dal primo elemento che non avevi già considerato a far partire il secondo ciclo da lì.
Comunque:
\(\displaystyle 1\mapsto 2 \) quindi \(\displaystyle (12 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 5 \) quindi \(\displaystyle (125 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 1 \mapsto 3 \) quindi \(\displaystyle (1253 \)
\(\displaystyle 3\mapsto 4 \) quindi \(\displaystyle (12534 \)
\(\displaystyle 4\mapsto 3 \mapsto 6 \) quindi \(\displaystyle (125346 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 1 \) quindi \(\displaystyle \sigma = (125346) \)
Se ci fossero stati due cicli avresti dovuto, finito il primo, ripartire dal primo elemento che non avevi già considerato a far partire il secondo ciclo da lì.
Grazie mille.
Quindi per calcolare [tex]\tau[/tex]:
$1\to2$ quindi [tex](1 2[/tex]
$2\to4$ quindi [tex](1 2 4[/tex]
$4\to5$ quindi [tex](1 2 4 5[/tex]
$5\to6$ quindi $ (1 2 4 5 6 $
$6\to3$ quindi $ (1 2 4 5 6 3 $
$3\to2\to1$ quindi $ (1 2 4 5 6 3)$
dovrebbe essere così?
Quindi per calcolare [tex]\tau[/tex]:
$1\to2$ quindi [tex](1 2[/tex]
$2\to4$ quindi [tex](1 2 4[/tex]
$4\to5$ quindi [tex](1 2 4 5[/tex]
$5\to6$ quindi $ (1 2 4 5 6 $
$6\to3$ quindi $ (1 2 4 5 6 3 $
$3\to2\to1$ quindi $ (1 2 4 5 6 3)$
dovrebbe essere così?
No.
\(\displaystyle 1\mapsto 2\mapsto 4 \) perché prima viene mandato in \(\displaystyle 2 \) da \(\displaystyle (12) \) e poi in \(\displaystyle 4 \) da \(\displaystyle (243) \)
\(\displaystyle 4\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 6 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 3\mapsto 2 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 1 \)
quindi hai il ciclo \(\displaystyle (14562) \)
Nota che \(\displaystyle \tau \) fissa il \(\displaystyle 3 \) in quanto si ha
\(\displaystyle 3\mapsto 4\mapsto 3 \)
\(\displaystyle 1\mapsto 2\mapsto 4 \) perché prima viene mandato in \(\displaystyle 2 \) da \(\displaystyle (12) \) e poi in \(\displaystyle 4 \) da \(\displaystyle (243) \)
\(\displaystyle 4\mapsto 5 \)
\(\displaystyle 5\mapsto 6 \)
\(\displaystyle 6\mapsto 3\mapsto 2 \)
\(\displaystyle 2\mapsto 1 \)
quindi hai il ciclo \(\displaystyle (14562) \)
Nota che \(\displaystyle \tau \) fissa il \(\displaystyle 3 \) in quanto si ha
\(\displaystyle 3\mapsto 4\mapsto 3 \)
Aaaa, perfetto. 
Quindi si va sempre da destra verso sinistra saltando eventualmente il ciclo dove non è presente l'elemento. Grazie mille di nuovo.
Visto che ci sono ne approfitto per chiederti un altro punto dello stesso esercizio che dice:
determinare gli elementi del gruppo ciclico $<\tau\sigma>$ e indicarne tutti i sottogruppi.
Non ho proprio idea di come svolgerlo e tantomeno cosa cercare nel forum. Se potessi aiutarmi te ne sarei grato.
Quindi si va sempre da destra verso sinistra saltando eventualmente il ciclo dove non è presente l'elemento. Grazie mille di nuovo.Visto che ci sono ne approfitto per chiederti un altro punto dello stesso esercizio che dice:
determinare gli elementi del gruppo ciclico $<\tau\sigma>$ e indicarne tutti i sottogruppi.
Non ho proprio idea di come svolgerlo e tantomeno cosa cercare nel forum. Se potessi aiutarmi te ne sarei grato.
Supponi \(\sigma = (12)(345)\) allora \(\sigma^2 = (12)^2(345)^2 = (354)\) (i cicli disgiunti commutano). A questo punto usa le definizioni.
Cioè $\tau\sigma=(125346)(14562)(3)$
Quindi
$1\to4\to6 $ $(16$
$6\to2\to5 $ $(165$
$5\to6\to1 $ $(165)$
$2\to1\to2 $ $(2)$
$3\to\4$ $(34)$
Dovrebbe essere $\tau\sigma = (165)(2)(34)$
Quindi
$1\to4\to6 $ $(16$
$6\to2\to5 $ $(165$
$5\to6\to1 $ $(165)$
$2\to1\to2 $ $(2)$
$3\to\4$ $(34)$
Dovrebbe essere $\tau\sigma = (165)(2)(34)$
Quello però è \(\sigma\tau\) e non \(\tau\sigma\). Hai invertito i prodotti nello scrivere i cicli non disgiunti.
A già, allora dovrebbe venire $\tau\sigma=(12)(35)(426)$.
Gli elementi del gruppo ciclico quali sarebbero? I sottogruppi invece?
Grazie ancora
Gli elementi del gruppo ciclico quali sarebbero? I sottogruppi invece?
Grazie ancora
Ti ho detto già molto. Prova ad usare le tue attuali conoscenze per trovare gli elemento. Qual’è il periodo?
In questo caso il periodo dovrebbe essere il MCM (2, 2, 3), cioè 6.
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