Prodotti scalari e forma diagonale di Sylvester
Ho questo esercizio:
$A=((0,2,2),(2,1,0),(2,0,1))$
Determinare una base ortogonale rispetto al prodotto scalare $phi$ e discutere se $phi$ ammette una
base ortonormale. Determinare inoltre il numero dei coeffcienti positivi e di quelli negativi nella
forma (diagonale) di Sylvester.
Sul primo punto penso di averlo fatto,si vede subito che $e_1$ è isotropo, $e_2 _|_ e_3$, allora la base sarà $B={e_2,e_3,v}$, con $v$ tale che $v _|_ e_2$ e $v _|_ e_3$. Ho trovato $v=(-1, 2, 2)$.
Domanda numero 1: Come faccio a "discutere" se $phi$ ammette una base ortonormale? Che teoremi me lo dicono? Basta il fatto che sia non degenere?
Comunque intuitivamente ho visto che $e_2$ e $e_3$ già vanno benissimo, hanno norma 1. $v$ è solo ortogonale, ma allora lo sostituisco con $v'=v/(||v||)=(-1/3, 2/3, 2/3)$ e ottengo la base ortonormale... Però se fosse stato più difficile da vedere, come avrei dovuto procedere?
Domanda numero 2: Come si calcolano i coefficienti di Sylvester? Non ho ben capito come si fa...
Grazie!
$A=((0,2,2),(2,1,0),(2,0,1))$
Determinare una base ortogonale rispetto al prodotto scalare $phi$ e discutere se $phi$ ammette una
base ortonormale. Determinare inoltre il numero dei coeffcienti positivi e di quelli negativi nella
forma (diagonale) di Sylvester.
Sul primo punto penso di averlo fatto,si vede subito che $e_1$ è isotropo, $e_2 _|_ e_3$, allora la base sarà $B={e_2,e_3,v}$, con $v$ tale che $v _|_ e_2$ e $v _|_ e_3$. Ho trovato $v=(-1, 2, 2)$.
Domanda numero 1: Come faccio a "discutere" se $phi$ ammette una base ortonormale? Che teoremi me lo dicono? Basta il fatto che sia non degenere?
Comunque intuitivamente ho visto che $e_2$ e $e_3$ già vanno benissimo, hanno norma 1. $v$ è solo ortogonale, ma allora lo sostituisco con $v'=v/(||v||)=(-1/3, 2/3, 2/3)$ e ottengo la base ortonormale... Però se fosse stato più difficile da vedere, come avrei dovuto procedere?
Domanda numero 2: Come si calcolano i coefficienti di Sylvester? Non ho ben capito come si fa...
Grazie!
Risposte
Vedo che in due giorni non hai ricevuto risposta: probabilmente è dovuto al fatto che non si capisce esattamente cosa sia $phi$.
Allora sai che ogni prodotto scalare ammette una base ortogonale, (si dimostra per induzione), ora, grazie al teorema di Sylvester sai che se ti trovi su un campo algebricamente chiuso sicuramente il tuo prodotto scalare ammette una base di vettori con norma uno, che si trova prima ortogonalizzando la base di vettori, e poi dividendo ogni vettore per la radice della sua norma. Infatti se al posto di $v_1$ metto $v_1/sqrt(a_(11)$, ($a_(11)$ norma del vettore $v_1$) quando vado a fare il prodotto scalare di $v_1$ con se stesso ottengo proprio
$1/(sqrt(a_(11))](v_1)^t * A (v_1)/(sqrt(a_(11))$ = $1/(a_(11))phi (v_1, v_1)$ = $1/(a_(11)) a_(11)$ = 1.
Per un campo non algebricamente chiuso, come $RR$, prima ti trovi la base diagonale, che verrà del tipo:
$A$ =$((a_1,0,0),(0,a_2,0),(0,0,a_3))$
A questo punto separi i vettori il cui prodotto scalare è positivo da quelli in cui è negativo. E' dimostrato che il numero di vettori positivo non dipende dalla scelta della base. Per quelli cui il prodotto scalare è positivo applichi la stessa formula di prima, per gli altri invece applichi una formula simile, cioè al posto di $v_1$ metto $v_1/sqrt(-a_(11)$
(notare il segno meno), ti fornirà un vettore la cui norma è -1.
Quindi puoi sempre trovare una base di vettori la cui norma è l'unità con un più o un meno davanti, tranne i vettori isotropi che ovviamente daranno 0.
Per trovare i vettori ortogonali, beh, l'unico modo è prima trovarsi i vettori isotropi, che quelli ci vanno sempre bene, poi applicare ai vettori che mancano per completare la base l'algoritmo di Lagrange. Tutto ok?
$1/(sqrt(a_(11))](v_1)^t * A (v_1)/(sqrt(a_(11))$ = $1/(a_(11))phi (v_1, v_1)$ = $1/(a_(11)) a_(11)$ = 1.
Per un campo non algebricamente chiuso, come $RR$, prima ti trovi la base diagonale, che verrà del tipo:
$A$ =$((a_1,0,0),(0,a_2,0),(0,0,a_3))$
A questo punto separi i vettori il cui prodotto scalare è positivo da quelli in cui è negativo. E' dimostrato che il numero di vettori positivo non dipende dalla scelta della base. Per quelli cui il prodotto scalare è positivo applichi la stessa formula di prima, per gli altri invece applichi una formula simile, cioè al posto di $v_1$ metto $v_1/sqrt(-a_(11)$
(notare il segno meno), ti fornirà un vettore la cui norma è -1.
Quindi puoi sempre trovare una base di vettori la cui norma è l'unità con un più o un meno davanti, tranne i vettori isotropi che ovviamente daranno 0.
Per trovare i vettori ortogonali, beh, l'unico modo è prima trovarsi i vettori isotropi, che quelli ci vanno sempre bene, poi applicare ai vettori che mancano per completare la base l'algoritmo di Lagrange. Tutto ok?
Sei stato chiarissimo, grazie! Dovrei aver capito tutto!
Comunque sì è vero ho dimenticato di dire che $phi$ è il prodotto scalare rappresentato dalla matrice $A$ nella base canonica...
Comunque sì è vero ho dimenticato di dire che $phi$ è il prodotto scalare rappresentato dalla matrice $A$ nella base canonica...
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