Prodotti scalari congruenti
Per ogni $AinM(2,R)$ sia $phi_A$ il prodotto scalare su $M(2,RR)$ dato da: $phi_A(X,Y)=tr(A(XY+YX))$ $AAX,YinM(2,RR)$
Dimostrare che se $A$ è simile a $B$ allora $phi_A$ è congruente a $phi_B$.
I due prodotti scalari sono congruenti se e solo se esiste un'isometria f tale che: $phi_A(X,Y)=phi_B(f(X),f(Y))$
cioè: $tr(A(XY+YX))=tr(B(f(X)f(Y)+f(Y)f(X)))$
Poiché A è simile a B abbiamo che $B=M^(-1)AM$ per qualche $MinGL(2,RR)$
dunque cerco f tale che $tr(A(XY+YX))=tr(M^(-1)AM(f(X)f(Y)+f(Y)f(X)))$
Però non riesco ad andare avanti. Suggerimenti?
Dimostrare che se $A$ è simile a $B$ allora $phi_A$ è congruente a $phi_B$.
I due prodotti scalari sono congruenti se e solo se esiste un'isometria f tale che: $phi_A(X,Y)=phi_B(f(X),f(Y))$
cioè: $tr(A(XY+YX))=tr(B(f(X)f(Y)+f(Y)f(X)))$
Poiché A è simile a B abbiamo che $B=M^(-1)AM$ per qualche $MinGL(2,RR)$
dunque cerco f tale che $tr(A(XY+YX))=tr(M^(-1)AM(f(X)f(Y)+f(Y)f(X)))$
Però non riesco ad andare avanti. Suggerimenti?
Risposte
L'applicazione $\phi_A$ non ha l'aspetto di un prodotto scalare: basta considerare che, se $A$ e' la matrice nulla, allora essa e' l'applicazione nulla... spiegati meglio, dunque!
La positiva definizione e' il problema, in effetti. Tu vorresti trovare l'insieme di tutte le $A$ tali che $\phi_A(X,Y)$ sia una forma bilineare definita positiva. Scegliendo la base canonica di $M(2,R)$ uno ha il seguente matriciozzo 4x4
$$\left(
\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{2,1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{1,1} & a_{2,1} \\
a_{1,2} & a_{2,2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{1,2} & a_{2,2}
\end{array}
\right)$$
che ovviamente dipende dalle entrate di $A$: adesso ha piu' senso farsi le domande che ti facevi. E ci si accorge che $\phi_A$ non e' nemmeno simmetrica, pensa un po'
cos'e' per te un prodotto scalare?
Comunque andiamo avanti: cosa sara' il luogo geometrico delle matrici $A$ tali che $\phi_A$ non e' degenere? E' una quartica, precisamente la ipersuperficie quartica in $R^4$ di equazione $-a_{1,2}^2 a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}-a_{1,1}^2 a_{2,2}^2=0$. Cosa sara' il luogo geometrico delle matrici $A$ tali che $\phi_A$ e' def' positiva?
$$\left(
\begin{array}{cccc}
a_{1,1} & a_{2,1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{1,1} & a_{2,1} \\
a_{1,2} & a_{2,2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{1,2} & a_{2,2}
\end{array}
\right)$$
che ovviamente dipende dalle entrate di $A$: adesso ha piu' senso farsi le domande che ti facevi. E ci si accorge che $\phi_A$ non e' nemmeno simmetrica, pensa un po'
cos'e' per te un prodotto scalare?Comunque andiamo avanti: cosa sara' il luogo geometrico delle matrici $A$ tali che $\phi_A$ non e' degenere? E' una quartica, precisamente la ipersuperficie quartica in $R^4$ di equazione $-a_{1,2}^2 a_{2,1}^2+2 a_{1,1} a_{1,2} a_{2,2} a_{2,1}-a_{1,1}^2 a_{2,2}^2=0$. Cosa sara' il luogo geometrico delle matrici $A$ tali che $\phi_A$ e' def' positiva?
Caro collega ti invito a leggere meglio. $phi_A$ è un prodotto scalare. Se $A$ è la matrice nulla $phi_A$ non è la matrice nulla ma la traccia della matrice nulla cioè $0inRR$. Infatti $phi_A(X,Y)=tr(((0, 0), (0, 0))(XY+YX))=tr((0, 0), (0, 0))=0inRR$.
Inoltre scegliendo la base canonica $C$ di $M(2,RR)$ si ha che la matrice che rappresenta $phi_A$ nella base $C$ è:
$M_C(phi_A)=((2a_(1,1), a_(2,1), a_(1,2), 0), (a_(2,1), 0, a_(1,1)+a_(2,2), a_(2,1)), (a_(1,2), a_(1,1)+a_(2,2), 0, a_(1,2)), (0, a_(2,1), a_(1,2), 2a_(2,2)))$ che risulta essere una matrice simmetrica.
Inoltre scegliendo la base canonica $C$ di $M(2,RR)$ si ha che la matrice che rappresenta $phi_A$ nella base $C$ è:
$M_C(phi_A)=((2a_(1,1), a_(2,1), a_(1,2), 0), (a_(2,1), 0, a_(1,1)+a_(2,2), a_(2,1)), (a_(1,2), a_(1,1)+a_(2,2), 0, a_(1,2)), (0, a_(2,1), a_(1,2), 2a_(2,2)))$ che risulta essere una matrice simmetrica.
La matrice era sbagliata perche' ovviamente non so fare i conti 
Il punto e' che un prodotto scalare, per i comuni mortali, e' una applicazione bilineare simmetrica, (non degenere e) definita positiva.
La tua $\phi_A$ non e' definita positiva, o perlomeno non lo e' per ogni $A$: troviamo un vettore tale che $\phi_A(X,X)<0$? Troviamolo. Basta prendere
$$A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}
\right)$$
e
$$X=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)$$
per avere che $\phi_A(X,X)=-2$. Per questo ti chiedevo cosa e' per te un prodotto scalare.
Il punto e' che un prodotto scalare, per i comuni mortali, e' una applicazione bilineare simmetrica, (non degenere e) definita positiva.
La tua $\phi_A$ non e' definita positiva, o perlomeno non lo e' per ogni $A$: troviamo un vettore tale che $\phi_A(X,X)<0$? Troviamolo. Basta prendere
$$A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}
\right)$$
e
$$X=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)$$
per avere che $\phi_A(X,X)=-2$. Per questo ti chiedevo cosa e' per te un prodotto scalare.
Forse non sarò un comune mortale, ma per quello che ne so io, un prodotto scalare è un'applicazione bilineare e simmetrica. Nessuno dice che debba essere anche definita positiva (e quindi non degenere).
Le parole sono importanti. Passi per la positiva definitezza, ma la non degenerazione non è abbandonabile, nella definizione di un "prodotto scalare". Soprattutto perché un prodotto scalare è chiamato a definire una metrica, cosa che può fare solo se è non degenere (in caso contrario ottieni una _pseudo_metrica).
Guarda, io ho tre libri di algebra lineare a casa, più appunti universitari, e in ognuno di questi sta scritto che $varphi: V^2 \to K$ è un prodotto scalare sul $K$-spazio vettoriale $V$ se valgono le seguenti proprietà:
1) $AAv,winV$ $varphi(v,w)=varphi(w,v)$
2) $AAv,w_1,w_2inV$ $varphi(v,w_1+w_2)=varphi(v,w_1)+varphi(v,w_2)$
3) $AAv,winV$, $AAlambdainK$ $varphi(lambdav,w)=lambdavarphi(v,w)$
cioè $varphi$ è un'applicazione simmetrica (1) e bilineare (2,3).
Se poi, definendo il radicale di $varphi$ come $Rad(varphi)={vinV|varphi(v,w)=0$ $AAwinV}$, esso è ridotto al solo 0, cioè $Rad(varphi)={0}$, allora il prodotto scalare si dice non degenere.
Se inoltre $varphi$ è tale che $AAvinV$ con $v!=0$, $varphi(v,v)>0$, allora il prodotto scalare si dice definito positivo.
1) $AAv,winV$ $varphi(v,w)=varphi(w,v)$
2) $AAv,w_1,w_2inV$ $varphi(v,w_1+w_2)=varphi(v,w_1)+varphi(v,w_2)$
3) $AAv,winV$, $AAlambdainK$ $varphi(lambdav,w)=lambdavarphi(v,w)$
cioè $varphi$ è un'applicazione simmetrica (1) e bilineare (2,3).
Se poi, definendo il radicale di $varphi$ come $Rad(varphi)={vinV|varphi(v,w)=0$ $AAwinV}$, esso è ridotto al solo 0, cioè $Rad(varphi)={0}$, allora il prodotto scalare si dice non degenere.
Se inoltre $varphi$ è tale che $AAvinV$ con $v!=0$, $varphi(v,v)>0$, allora il prodotto scalare si dice definito positivo.
Continuo a pensare che vi sia un problema di buona positura. Dove vorresti prendere l'isometria che cerchi, rispetto a quale prodotto scalare su $M_2(\mathbb R)$ vuoi che sia una isometria?
I due "prodotti scalari" sembrano essere congruenti mediante lo stesso isomorfismo che rendeva simili A,B:
$$\begin{array}{rcl}
\varphi_B(X,Y)&=& {\rm tr}(B(XY+YX))\\
&=& {\rm tr}(M^{-1}AM(XY+YX))\\
&=& {\rm tr}(AM(XY+YX)M^{-1})\\
&=& {\rm tr}(AMXYM^{-1}+AMYXM^{-1})\\
&=& {\rm tr}(AMXM^{-1}MYM^{-1}+AMYM^{-1}MXM^{-1})\\
&=& {\rm tr}(A(f_M(X)f_M(Y)+f_M(Y)f_M(X))
\end{array}$$
dove $f_M$ e' il coniugio per $M$.
I due "prodotti scalari" sembrano essere congruenti mediante lo stesso isomorfismo che rendeva simili A,B:
$$\begin{array}{rcl}
\varphi_B(X,Y)&=& {\rm tr}(B(XY+YX))\\
&=& {\rm tr}(M^{-1}AM(XY+YX))\\
&=& {\rm tr}(AM(XY+YX)M^{-1})\\
&=& {\rm tr}(AMXYM^{-1}+AMYXM^{-1})\\
&=& {\rm tr}(AMXM^{-1}MYM^{-1}+AMYM^{-1}MXM^{-1})\\
&=& {\rm tr}(A(f_M(X)f_M(Y)+f_M(Y)f_M(X))
\end{array}$$
dove $f_M$ e' il coniugio per $M$.
Grazie per l'aiuto
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