Prodotti scalari

[Alessandro.fiore1]

Ciao a tutti; avrei un dubbio da sciogliere:
data b((x,y,z);(x',y',z'))=$xx'+yx'+xy'+4yy'+2xz'+2zx'+7zz'$ prodotto scalare;
dato $W=((h;2h-3k;3k)$ con $ h, k $ appartenti ad R)
e dato $V=2x-y+3z$ Sottospazi di b;
determinare una base ortogonale di W rispetto a b; ed il complemento ortogonale di V rispetto a b
ora il dubbio che sorge a me è il seguente:che differenza sussiste tra una base ortogonale ed un complemento ortogonale rispetto al prodotto scalare b, da una base ortogonale ed un complemento ortogonale rispetto ad un prodotto scalare canonico?
Grazie a tutti per la disponibilità.

[mistake89]

Il prodotto scalare standard non è altro che una forma bilineare simmetrica, definita positiva, particolare...
Ma ogni forma bilineare simmetrica definita positiva è un prodotto scalare...
in soldoni si tratta di usare l'espressione data per fare i calcoli, ma nulla muta nel procedimento, ovviamente!

[Alessandro.fiore1]

aaaah infatti anche io avevo pensato la stessa cosa, solo che volevo averne la conferma!!! comunque davvero grazie mistake89. mi hai dato una mano enorme fin ora..ne sai davvero tanto di geometria, complimenti!!!

[mistake89]

Di nulla... e poi la strada è ancora lunga, figurati!

[Alessandro.fiore1]

Vorrei proporti un altro quesito mistake89:
Cosa accade se ortogonaliziamo una base già ortogonalizzata? Cioè mi spiego meglio, cosa accade se applicassimo per due volte di seguito il processo di gram-schmidt ad una stessa base?

[mistake89]

Sinceramente non ho mai "provato con mano", anzi ti invito a farlo, ma nelle ipotesi del teorema dire che trovi un'altra base ortogonale... o per meglio dire dovresti trovare una nuova base proporzionale a quella precedente.

[Alessandro.fiore1]

provo subito e poi ti dico le conseguenze..

[Alessandro.fiore1]

allora mistake89 ho provato, però penso di aver sbagliato qualcosa nell'impostazione:
Allora io ho un prodotto scalare b((x,y,z,);(x',y',z'))=$xx'+xy'+yx'+4yy'-yz'-zy'+2zz'$ e mi chiede di torovare una base ortogonale a tale prodotto; io ho iniziato con diagonalizzarmi tale forma tramite l'algoritmo di gauss lagrange. Ora io ho letto che il processo di gram-schmidt e l'algoritmo di gauss-lagrange portano entrambi a trovare una base ortogonale, precisamente la stessa, ma a me questo risultato non torna. se puoi risolvere anche tu l'esercizio e poi confrontare.. Grazie

[Gaal Dornick]

Cioè ti stai chiedendo che succede se dipingi di rosa un maialino rosa?

[Alessandro.fiore1]

No, sto cercando di provare un risultato che mi sta creando non pochi dubbi...

[Alessandro.fiore1]

Facciamo così, cambio la mia domanda; dato il prodotto scalare b((x,y,z,);(x',y',z'))=$xx'+xy'+yx'+4yy'-yz'-zy'+2zz'$ come faccio a trovarmi una base ortogonale?

[studentessa CdLmate]

Ciao a tutti.. ho un problema con l'algoritmo di lagrange.. ho capito il procedimento da usare se i vettori della base data non sono isotropi.. ma se sono tutti isotropi come faccio a trovare una combinazione lineare che vada bene x la mia nuova base ortogonale?? Ad esempio qui in questo esercizio devo trovare una base ortogonale che diagonalizzi la seguente $ A=( ( 0 , 1 , -1),( 1 , 0 , 2 ),( -1 , 2 , 0 ) ) $ come si vede dall matrice i vettori della base canonica sono tutti isotropi $ E= {e_1, e_2, e_3 } $. qualcuno mi potrebbe aiutare?? grazie mille!!