Prodotti cartesiani di aperti

[geminis]

ciao a tutti!
chi mi conferma questa tesi?
il prodotto cartesiano di insieme aperti è un aperto.

[codino75]

sembrerebbe di si'.
ma forse anche
aperto X chiuso =aperto ?

[amel3]

"geminis":ciao a tutti!
chi mi conferma questa tesi?
il prodotto cartesiano di insieme aperti è un aperto.

Dipende cosa stai considerando, se $(X_1, tau_1)$ e $(X_2, tau_2)$ sono due spazi topologici, per definizione è uno spazio topologico prodotto lo spazio $(X_1 \ x \ X_2, tau)$, ove $tau$ è la topologia:
$tau={A_1 \ x \ A_2 \ | \ A_1 in tau_1, \ A_2 in tau_2}$.
Qunidi, in tal caso gli aperti di $X_1 \ x X_2$ sono per definizione prodotto cartesiano di aperti o unione di prodotti cartesiani di aperti.
Ad esempio, il caso più classico è topologia euclidea: se considero la topologia euclidea su $RR$, la topologia euclidea su $RR^2$ coincide proprio la topologia prodotto.
Nulla impedisce, però, di scegliere su $RR^2$ una topologia che non è una topologia prodotto.
Esempio idiota: scelgo la topologia su $RR^2$ che ha come aperti unicamente $O/ $, ${(1,2)}$, ${(3,4)}$, ${(1,2), \ (3,4)}$ e $RR^2$. E' chiaro che in questo caso non si tratta di una topologia prodotto: dovrebbe essere il prodotto di $RR$ con la topologia che ha come aperti ${1}$, ${3}$, ma anche inevitabilmente ${1,3}$ e di $RR$ con la topologia che ha come aperti ${3}$, ${4}$ e quindi anche ${3,4}$. Però, ad esempio, l'aperto ${(1,4)}$ non appartiene alla topologia su $RR^2$ che abbiamo definito, quindi ciò ci mostra come la topologia costruita non è in effetti una topologia prodotto.
In definitiva, il prodotto cartesiano di insiemi aperti è un aperto per la topologia prodotto (come nel caso euclideo), ma non necessariamente è un aperto per un'altra topologia

[geminis]

grazie ad entrambi...si mi riferivo alla topologia prodotto,pur non avendolo specificato...grazie ancora!

[ficus2002]

"amel":se $(X_1, tau_1)$ e $(X_2, tau_2)$ sono due spazi topologici, per definizione è uno spazio topologico prodotto lo spazio $(X_1 \ x \ X_2, tau)$, ove $tau$ è la topologia:
$tau={A_1 \ x \ A_2 \ | \ A_1 in tau_1, \ A_2 in tau_2}$.
Qunidi, in tal caso gli aperti di $X_1 \ x X_2$ sono per definizione prodotto cartesiano di aperti.

Gli aperti nella topologia prodotto sono unioni arbitrarie di prodotti di aperti, ossia ${A_1 \ x \ A_2 \ | \ A_1 in tau_1, \ A_2 in tau_2}$ è una base per la topologia.
In $RR^2$ con topologia prodotto, ogni disco aperto non è prodotto di due aperti di $RR$, ma è unione di prodotti di aperti di $RR$.

[amel3]

Giustissima precisazione, sorry....