Procedimento per trovare l'inversa.
Una cosa che non riesco a capire a proposito delle funzioni inverse. Dunque, data una funzione $y= f(x)$, io per trovare l'inversa devo, per mezzo di passaggi algebrici, esplicitare $x$. Utilizzo sostanzialmente le proprietà delle equazioni.
Quello che mi chiedo è se tale procedimento va fatto dopo che è stato stabilito che la funzione sia invertibile (per mezzo di procedimenti su cui chiedo lumi) oppure che tale procedimento basti per capire se una funzione sia invertibile o meno.
Io penso che basti. Chiedo se il procedimento da me sviluppato sia giusto.
Posto un esempio per mostrare il caso concreto.
E' data la funzione $y = x^2$, con $y$ un generico elemento del codominio. Io so a priori che essa non è invertibile, almeno in tutto il suo dominio. Quello che mi chiedo è se è possibile capirlo anche ragionando sull' "esplicitazione" della variabile indipendente, quasi "automaticamente".
Per ogni valore $y$ esistono due valori di x, opposti poichè la funzione è pari.
Infatti, $x= +- sqrt(y)$. Prendo in considerazione la funzione $x(y)$ che è una probabile inversa di $y(x)$. Poichè non è verificata la definizione di inversa per x(y), e data l'arbitrarietà con cui ho scelto y, basta questo per dire che la funzione $y(x)$ non è invertibile? Oppure devo considerare qualche altra cosa che ora mi sfugge?
Se fosse vero quello che ho scritto si può dedurre questa regola generale, puramente pratica, da tenere a mente quando "si va di fretta":
nell'esplicitare la variabile indipendente è possibile concludere che una funzione di tale variabile sia invertibile se alla fine del processo di esplicitazione essa può assumere un unico valore funzione di $y$ (l'unica soluzione dell'equazione in $x$, $f(x) = y$)
Quello che mi chiedo è se tale procedimento va fatto dopo che è stato stabilito che la funzione sia invertibile (per mezzo di procedimenti su cui chiedo lumi) oppure che tale procedimento basti per capire se una funzione sia invertibile o meno.
Io penso che basti. Chiedo se il procedimento da me sviluppato sia giusto.
Posto un esempio per mostrare il caso concreto.
E' data la funzione $y = x^2$, con $y$ un generico elemento del codominio. Io so a priori che essa non è invertibile, almeno in tutto il suo dominio. Quello che mi chiedo è se è possibile capirlo anche ragionando sull' "esplicitazione" della variabile indipendente, quasi "automaticamente".
Per ogni valore $y$ esistono due valori di x, opposti poichè la funzione è pari.
Infatti, $x= +- sqrt(y)$. Prendo in considerazione la funzione $x(y)$ che è una probabile inversa di $y(x)$. Poichè non è verificata la definizione di inversa per x(y), e data l'arbitrarietà con cui ho scelto y, basta questo per dire che la funzione $y(x)$ non è invertibile? Oppure devo considerare qualche altra cosa che ora mi sfugge?
Se fosse vero quello che ho scritto si può dedurre questa regola generale, puramente pratica, da tenere a mente quando "si va di fretta":
nell'esplicitare la variabile indipendente è possibile concludere che una funzione di tale variabile sia invertibile se alla fine del processo di esplicitazione essa può assumere un unico valore funzione di $y$ (l'unica soluzione dell'equazione in $x$, $f(x) = y$)
Risposte
l'invertibilità è un sinonimo della biiettività (o biunivocità), però si può trovare anche l'inversa solo di una parte, nel senso che va individuato un intervallo I del dominio in cui la funzione f(x) è biunivoca, in corrispondenza si trova l'immagine dello stesso intervallo f(I), sottoinsieme del codominio, per cui l'inversa che andiamo a trovare avrà dominio f(I) e immagine I.
il procedimento algebrico spesso aiuta, però non sempre è agevole applicarlo, anzi non sempre si riesce a trovare l'espressione analitica della funzione inversa (almeno per quanto io ne sappia).
il procedimento algebrico spesso aiuta, però non sempre è agevole applicarlo, anzi non sempre si riesce a trovare l'espressione analitica della funzione inversa (almeno per quanto io ne sappia).
Potresti farmi qualche esempio di funzioni in cui non si riesca ad applicare tale metodo banale?
la prima cosa che mi viene in mente è "le funzioni goniometriche". è vero, esistono le inverse, sono talmente importanti che gli hanno dato nomi particolari, ma mica ci dicono qualcosa sull'espressione analitica? in pratica, quando le funzioni sono particolarmente importanti, ad un'inversa (che si sa come trovare, anche se non sarebbe facile trovarne un'espressione analitica) si dà un nome e si dà per trovata... (non voglio essere polemica o ironica con i matematici, nel mio piccolo lo sono anch'io...)
il Ferrauto parla di funzioni che presentano un'espressione analitica in più variabili e che non si riescono ad esplicitare rispetto ad una variabile. non è la stessa cosa, però ti riporto l'esempio: $ax^5y^2+bx^4y^3+cx^3y^4+dx^2y^5+exy^6+fy^7=0$.
forse, per analogia si potrebbe pensare una funzione polinomiale di grado piuttosto elevato: azzardo, ma non l'ho verificato
$y=x^5+8x^4+2x^3+7x^2+5x+1$
non saprei indirizzarti per una trattazione completa sull'argomento. puoi comunque provare con un motore di ricerca.
ciao.
il Ferrauto parla di funzioni che presentano un'espressione analitica in più variabili e che non si riescono ad esplicitare rispetto ad una variabile. non è la stessa cosa, però ti riporto l'esempio: $ax^5y^2+bx^4y^3+cx^3y^4+dx^2y^5+exy^6+fy^7=0$.
forse, per analogia si potrebbe pensare una funzione polinomiale di grado piuttosto elevato: azzardo, ma non l'ho verificato
$y=x^5+8x^4+2x^3+7x^2+5x+1$
non saprei indirizzarti per una trattazione completa sull'argomento. puoi comunque provare con un motore di ricerca.
ciao.
Se ti interessa puoi dare un'occhiata a questa dispensa, proprio nelle ultime due o tre pagine si parla dell'argomento che ti serve.
http://www.dm.uniba.it/~pisani/insiemi.pdf
P.S.:Naturalmente dopo aver letto il post di adaBTTLS, che apparentemente ho ignorato, ma solo perché abbiamo scritto contemporaneamente!
http://www.dm.uniba.it/~pisani/insiemi.pdf
P.S.:Naturalmente dopo aver letto il post di adaBTTLS, che apparentemente ho ignorato, ma solo perché abbiamo scritto contemporaneamente!
"turtle87":
Potresti farmi qualche esempio di funzioni in cui non si riesca ad applicare tale metodo banale?
Prendi la funzione $f(x)=x+e^x$. Essa e' chiaramente invertibile dato che, con un semplice studio di funzioni vedi che
(a) e' strettamente crescente (b) $lim_{x\to\pm infty}=\pm\infty$. Da (a) deduci che $f$ e' iniettiva, da $(b)$ (usando
la continuita' di $f$ e il teorema dei valori intermedi) che $f$ e' surgettiva.
Dunque $f$ e' invertibile - purtroppo pero' non e' possibile esplicitare $x$ dalla relazione $y=x+e^x$ - cioe' non
e' possibile SCRIVERE $f^{-1}$ in termini di FUNZIONI ELEMENTARI.
Se pero' un giorno si scoprisse (riprendo il discorso di adaBBTTLS) che questa funzione ha un ruolo importante
in vari fenomeni, allora potremmo darle un nome, che ne so $"imp"(x)$, e da quel punto in poi entrerebbe anche lei tra le funzioni
elementari (poi bisognerebbe vedere se la nuova funzione elementare $"imp"$ ha qualche proprieta' algebrica che permette
di manipolarla nei calcoli).
Nota che anche la funzione radice che tu dai per scontata ha bisogno di essere costruita - dimostrando appunto che la
funzione quadrato e' iniettiva e surgettiva dai positivi nei positivi.
Comunque il tuo discorso algebrico iniziale e' corretto: se studi algebricamente l'equazione $y=f(x)$ e sei in grado di
trovare una formula che per ogni $y$ individua un unico $x$ verificante l'equazione, allora hai contemporaneamente dimostrato che $f$ e' invertibile e
trovato un'espressione della funzione inversa.
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