Problemino sull dimensione dell0 span di 3 vettori

[trefe.ra4]

ciao a tutti...
nell'ultimo compito di geometria e algebra lineare mi sono trovato questa domanda e nn ho saputo risolverla, qualcono mi potrebbe dare un piccolo aiutino...???
grazie in antocipo, la domanda è questa:
Sia V uno spazio vettoriale su R e siano v1; v2; v3 tre vettori linearmente indipendenti in V . Dire per quali valori del parametro $ t in R $ la
dimensione di $ < t*v1 + (1 + t)*v2 ; v1 + (t - 3)*v3 ; t*v1 + t*v2 > $ è 2.

[j18eos]

Considerata la base [tex]\left\{v_1;v_2;v_3\right\}[/tex] in tale base i generatori del dato spazio vettoriale hanno coordinate [tex](t;1+t;0);(1;0;t-3);(t;t;0)[/tex] nel riferimento vettoriale [tex](v_1;v_2;v_3)[/tex], calcoli il rango [tex]r(t)[/tex] in funzione di t della matrice:

[tex]\begin{pmatrix}
t & t+1 & 0\\
1 & 0 & t-3\\
t & t & 0
\end{pmatrix}[/tex]

essendo la dimensione [tex]r(t)[/tex] deve essere [tex]r(t)=2\Rightarrow det\begin{pmatrix}
t & t+1 & 0\\
1 & 0 & t-3\\
t & t & 0
\end{pmatrix}=0[/tex].
Ti troverai 3 valori per [tex]t[/tex] tra cui [tex]0[/tex] ma [tex]r(0)=2[/tex] e devi provare anche con le altre 2 (che non ho calcolato).

Grazie Cirasa, ho corretto!

[cirasa]

"j18eos":Considerata la base [tex]\left\{v_1;v_2;v_3\right\}[/tex] in tale base i generatori del dato spazio vettoriale hanno coordinate [tex](t;1+t;0);(1;0;t-3);(t;t;0)[/tex] nel riferimento vettoriale [tex](v_1;v_2;v_3)[/tex], calcoli il rango [tex]r(t)[/tex] in funzione di t della matrice:

[tex]\begin{pmatrix}
t & t+1 & 0\\
1 & 0 & t-3\\
t & t & 0
\end{pmatrix}[/tex]

essendo la dimensione [tex]3-r(t)[/tex] ....

Attenzione! La dimensione del sottospazio è uguale al rango della matrice dei coefficienti (rispetto alla base fissata) e non a [tex]3-r(t)[/tex]!
Quindi bisogna imporre che il rango di tale matrice è [tex]2[/tex] e non [tex]1[/tex].