Problemino su $K^X$

[vl4dster]

Sia $X$ un insieme non vuoto e $K$ un campo. Consideriamo il $K$-spazio vettoriale $K^X$ delle funzioni da $X$ a $K$ con somma e
prodotto scalare definiti nel modo "naturale". Per ogni $Y \subseteq X$ sia $K_Y={f\in K^X : f(y)=0 " per ogni "y\inY}$.

Se $Y,Y'\subseteq X$ allora $K_Y+K_Y' = K_{Y\capY'}$.
Mi interessa la $\supe$

[vl4dster]

scusatemi, falso allarme, cade subito...

per ogni $f \in K_{Y\capY'}$ possiamo considerare $f_1,f_2$ definite come
$f_1(x) = 0_K$ se $x \in Y $
$f_2(x) = 0_K$ se $x \in Y'$, in modo che $f_1 \in K_Y$ e $f_2 \in K_{Y'}$, e poi
$f_1(x) = f(x)$ se $x \in Y' \setminus Y$
$f_2(x) = f(x)$ se $x \in Y \setminus Y'$
ed inoltre
$f_1(x) = f(x)$ se $x \in X\setminus Y\cupY'$
$f_2(x)=0_K$ se $x \in X\setminus Y\cupY'$

mostriamo che $f = f_1+f_2$:
per ogni $y \in Y\capY'$ $(f_1+f_2)(y)=0_K=f(x)$, per ogni $y \in Y\setminus Y'$ $(f_1+f_2)(y) = f_2(y)=f(x)$,
per ogni $y \in Y'\setminus Y$ $(f_1+f_2)(y) = f_1(y)=f(x)$ e per ogni $y \in X\setminus Y\cupY'$ $(f_1+f_2)(y) = f_1(x) = f(x)$.

questo mostra che $f = f_1+f_2$, che implica l'inclusione che interessava (modulo errori)...