PROBLEMI GEOMETRIA ANALITICA: RETTE E PIANI

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Salve, volevo dire innanzitutto che grazie a questo forum sto chiarendo qualche piccolo dubbio e chiedo scusa se faccio molte domande a volte un pò stupide.
Stasera è la volta della geometria.

Problema 1:
Fissato nello spazio ordinario un riferimento monometrico ortogonale si considerino i punti: A(3,-2,0) B(-3,1,-3) e la retta r rappresentata da:

{2y-z+1 = 0
{x-3y+z-3= 0

(è un unica graffa)

Dopo aver verificato che le rette AB (che chiamerò s) e r sono incidenti (ossia complanari), trovare il punto comune P ed il piano che le contiene. Si rappresenti la retta per P perpendicolare ad AB e r.

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Trovo la retta s passante per A e B in forma parametrica:

x= 3 - 6k
y= -2 + 3k
z= -3

scrivo anche r in forma parametrica:

x= -1 + t
y= t
z= 1 + 2t

Verifico se sono incidenti con il seguente sistema:

3-6k=-1+t
-2+3k=t
-3=1+2t

se non ho sbagliato i calcoli ottengo k=-1 ; t=1/3 .... quindi le rette sono incidenti

Per trovare il punto comune se non erro devo sostituire il valore di k trovato in s o il valore di t trovato in r.

Il punto sempre se non erro è (1;-1;-1)

Ora il piano che le contiene entrambe: qui mi blocco...


La retta per P(1;-1;-1) perpendicolare alla retta s e r:

retta s:
x= 3 - 6k
y= -2 + 3k
z= -3

trovo il piano per P e perpendicolare a s:

-6x+3y+9=0
che riscrivo: 2x-y-3=0


piano per P e perpendicolare a r:

r:
x= -1 + t
y= t
z= 1 + 2t


x+y+2z=0


la retta cercata dovrebbe essere:

2x-y-3=0
x+y+2z=0

(fate sempre conto che c'è una graffa)


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Altro problema:

Fissato nello spazio ordinario un riferimento monometrico ortogonale si considerino le rette r e s rappresentate da:

r:
x= 2+t
y= -1-t
z= 4+3t

s:
x=3+u
y=2+u
z=4+2

verificare che sono sghembe e determinare le equazioni della loro perpendicolare comune. Si consideri, infine, il punto A(1,0,1) determinare il piano per A parallelo ad r e s.

Si vede subito che non sono parallele perchè hanno direzioni non proporzionali. Verifico se sono incidenti o sghembe in maniera analoga al problema precedente. Se non ho sbagliato i calcoli il sistema è impossibile, quindi sono sghembe.

Perpendicolare comune a r e s ?????? Anche qui non so come procedere.


Piano per A(1,0,1) parallelo ad r e s dovrebbe essere:
x=1+t+u
y=-t+u
z=1+3t+u




Volevo sapere se ho sbagliato qualcosa e come procedere dove mi sono bloccato...

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nessuno stavolta?