Problemi geometria.
salve ragazzi, ho due problemi di geometria che proprio non riesco a risolvere pochè non capisco che procedimento usare, vi elenco i due problemi.
1. Data la retta r di equazioni (2x + y = 0 e 2x + z - 1 = 0), la retta s di equazioni (x - y = 0 e x - z + 1 = 0) e il piano di eq. y - z = 0, determinare il piano contenente la reta r ed ortogonale al piano dato.
io ho calcolato i direttori della retta r e il vettore affinchè i due piani siano ortogonali (mi viene il vettore 0,1,1) ma non so come procedere.
questa è la seconda parte del punto precedente.
2. calcolare l'equazione della retta t passante per il punto P(1,1,0) ed ortogonale alla retta r ed s.
anche qui ho calcolato i direttori di s, e mi trovo con (1,1,-2).
qui ho fatto il sistema x=1 , y= 1-t, z=t , ma mi risulta y-z-1 mentre il risultato è y+z-1=0.
vi ringrazio per le eventuali risposte.
1. Data la retta r di equazioni (2x + y = 0 e 2x + z - 1 = 0), la retta s di equazioni (x - y = 0 e x - z + 1 = 0) e il piano di eq. y - z = 0, determinare il piano contenente la reta r ed ortogonale al piano dato.
io ho calcolato i direttori della retta r e il vettore affinchè i due piani siano ortogonali (mi viene il vettore 0,1,1) ma non so come procedere.
questa è la seconda parte del punto precedente.
2. calcolare l'equazione della retta t passante per il punto P(1,1,0) ed ortogonale alla retta r ed s.
anche qui ho calcolato i direttori di s, e mi trovo con (1,1,-2).
qui ho fatto il sistema x=1 , y= 1-t, z=t , ma mi risulta y-z-1 mentre il risultato è y+z-1=0.
vi ringrazio per le eventuali risposte.
Risposte
Considera il fascio di piani di asse $r$ ed imponendo l'ortogonalità con il piano assegnato determini il tuo piano.
Per il punto due imponendo che la retta $t$ di coefficienti direttori $(l,m,n)$ sia perpendicolare a $r$ di coefficienti direttori $(1,-2,2)$ ottieni che $l-2m+2n=0$ da cui $l=2m-2n$
Imponendo l'ortogonalità con $s$ ottieni $l+m-2n=0$. Ovvero $2m-2n+m-2n=0$ da cui $m=0$ e $l=-2n$
Quindi la retta cercata avrà parametri direttori $(-2,0,1)$. Imponendo il passaggio per $P$ otterrai una sua equazione.
Per il punto due imponendo che la retta $t$ di coefficienti direttori $(l,m,n)$ sia perpendicolare a $r$ di coefficienti direttori $(1,-2,2)$ ottieni che $l-2m+2n=0$ da cui $l=2m-2n$
Imponendo l'ortogonalità con $s$ ottieni $l+m-2n=0$. Ovvero $2m-2n+m-2n=0$ da cui $m=0$ e $l=-2n$
Quindi la retta cercata avrà parametri direttori $(-2,0,1)$. Imponendo il passaggio per $P$ otterrai una sua equazione.
inanzitutto grazie mille per la risposta.
mi rimane però un dubbio, ho trovato il fascio relativo ad r, ovvero h(2x+y) + k(2x+z-1)=0, come faccio ad imporre l'ortogonalità con il piano assegnato?
devo sostituite all'interno del fascio il punto che ottengo (0,1,1) imponendo che i due piani siano ortogonali (mi viene b=c) ed assegno due valori ai parametri h e k?
mi rimane però un dubbio, ho trovato il fascio relativo ad r, ovvero h(2x+y) + k(2x+z-1)=0, come faccio ad imporre l'ortogonalità con il piano assegnato?
devo sostituite all'interno del fascio il punto che ottengo (0,1,1) imponendo che i due piani siano ortogonali (mi viene b=c) ed assegno due valori ai parametri h e k?
Due piani sono ortogonali se $\text{aa'+bb'+cc'=0}$
sisi infatti io ho trovato che sono ortogonali per il vettore (0,1,1), poi ho sostituito tale vettore all'interno del fascio ed ho trovato i valori di h rispetto a k, assegnandone poi due valori e calcolando il fascio sostituendo h e k.
il problema è che non mi trovo con il risultato poichè mi viene un piano di eq. 2x -y +z -2 =0.
il problema è che non mi trovo con il risultato poichè mi viene un piano di eq. 2x -y +z -2 =0.
Ma non devi sostituire all'interno dell'equazione. Devi considerare $h+k=0$ da cui $h=-k$ Ponendo $k=-1$ ottieni $h=1$ da cui l'equazione del piano $y-z+1=0$
Non sono stato chiaro: praticamente devi svolgere l'equazione del fascio di piani ed ottieni $2(h+k)x+hy+kz-k=0$ ed utilizzando l'equazione con i coefficienti dell'altro post ottieni la relazione $h+k=0$
ora sei stato chiarissimo, grazie mille.
ora provo a fare entrambe le parti degli esercizi.
sto trovando problemi principalmente per via del libro di testo, che spiega tutto in maniera teorica facendo degli esempi limitatissimi.
p.s. sostituendo il punto nell'equazione però mi trovo diversamente (scusa se sto infastidendo xD) ma nell' eq. che mi trovo $ 2x(h+k) +hy + kz -k=0 $ , se sostituisco il vettore che ottengo imponendo l'ortogonalità con il piano, ovvero$ (0,1,1) $mi trovo semplicemente $h=0$, non capisco dove ho sbagliato.
ora provo a fare entrambe le parti degli esercizi.
sto trovando problemi principalmente per via del libro di testo, che spiega tutto in maniera teorica facendo degli esempi limitatissimi.
p.s. sostituendo il punto nell'equazione però mi trovo diversamente (scusa se sto infastidendo xD) ma nell' eq. che mi trovo $ 2x(h+k) +hy + kz -k=0 $ , se sostituisco il vettore che ottengo imponendo l'ortogonalità con il piano, ovvero$ (0,1,1) $mi trovo semplicemente $h=0$, non capisco dove ho sbagliato.
qualcuno mi sa aiutare? non so proprio come svolgere l'esercizio, ho seguito i consigli passo per passo ma non mi trovo con i risultati.
Scusami ottieni $h+k=0$. Devi infatti moltiplicare $(h+k)*0 + h*1+k*1=0$
PS Gli up a meno di 24 ore non sono ammessi!
PS Gli up a meno di 24 ore non sono ammessi!
Scusa per il doppio-post, non sapevo.
Comunque nel calcolo che fai non tieni conto del -k finale, oppure va escluso ? $2x(h+k)+hy+kz-k=0$
il risultato infatti non è $y -z +1=0$ ma $4x + y + z − 1 = 0$
scusami ancora ma proprio non mi trovo con questo esercizioe lunedì ho l'esame.
Comunque nel calcolo che fai non tieni conto del -k finale, oppure va escluso ? $2x(h+k)+hy+kz-k=0$
il risultato infatti non è $y -z +1=0$ ma $4x + y + z − 1 = 0$
scusami ancora ma proprio non mi trovo con questo esercizioe lunedì ho l'esame.
Allora mi son fidato del tuo vettore ed ho fatto male 
Il piano ha equazione $y-z+1=0$ quindi $a=0,b=1,c=-1$.
L'equazione del fascio è quella scritta il post precedente. Dove $a'=(h+k),b'=h,c'=k$. Applicando la formuletta si ha $h-k=0$ da cui $h=k$.
Pertanto il nostro piano ha equazione $4x+y+z-1=0$ esattamente come da risultato.
Il piano ha equazione $y-z+1=0$ quindi $a=0,b=1,c=-1$.
L'equazione del fascio è quella scritta il post precedente. Dove $a'=(h+k),b'=h,c'=k$. Applicando la formuletta si ha $h-k=0$ da cui $h=k$.
Pertanto il nostro piano ha equazione $4x+y+z-1=0$ esattamente come da risultato.
grazie mille!!!
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