Problemi di Geometria - Rette nello spazio
Salve a tutti, vi chiedo aiuto per due quesiti di geometria che mi stanno mandando fuori di testa.
Li elenco di seguito:
1. Determinare la retta giacente sul piano $ alpha : 3x-2y +z=0 $ , incidente alla retta $ r: x-2y=z-x=0 $ e perpendicolare alla retta $ s:2x-y+z=z-2x=0 $ .
2. Determinare la retta passante per A = (2,2,1) parallela al piano $ beta : x-3z=0 $ e complanare all'asse y.
Vi spiego il mio ragionamento.
Risposta ad 1:
Per me non esiste una sola retta, ma infinite, contenute in $alpha$ e passanti per l'origine.
Infatti ho provato a fare la seguente.
Se la retta che giace sul piano è ortogonale ad s, allora lo sarà anche il piano che la contiene, ovvero $ alpha $, per cui mi basta trovare l'intersezione fra $ alpha $ e il piano del fascio generato da s, passante per il punto $ P = alpha nn r $ .
Il calcolo mi dice che tale punto è l'origine.
Adesso, se faccio il fascio di piani con asse s, e provo a sostituire, si annullano i due piani, ovvero a sua volta s è incidente a r nell'origine.
Quindi non esiste una sola retta, ma infinite, contenute in $ alpha $ e passanti per l'origine.
Risposta a 2:
Per me, il problema non ammette soluzioni per le condizioni imposte.
Ho provato a fare il fascio di piani con asse y e a imporre il passaggio per A.
Adesso, per quello che dice il problema, tale piano dovrebbe essere parallelo a $beta$, ma non lo è, perchè i parametri direttori non sono proporzionali.
Adesso, dove ho sbagliato ??
I due quesiti proposti erano quesiti di un compito d'esame, e penso difficilmente che siano entrambi malposti, quindi dove sto sbagliando ??
Il vostro aiuto mi sarebbe tremendamente gradito.
Li elenco di seguito:
1. Determinare la retta giacente sul piano $ alpha : 3x-2y +z=0 $ , incidente alla retta $ r: x-2y=z-x=0 $ e perpendicolare alla retta $ s:2x-y+z=z-2x=0 $ .
2. Determinare la retta passante per A = (2,2,1) parallela al piano $ beta : x-3z=0 $ e complanare all'asse y.
Vi spiego il mio ragionamento.
Risposta ad 1:
Per me non esiste una sola retta, ma infinite, contenute in $alpha$ e passanti per l'origine.
Infatti ho provato a fare la seguente.
Se la retta che giace sul piano è ortogonale ad s, allora lo sarà anche il piano che la contiene, ovvero $ alpha $, per cui mi basta trovare l'intersezione fra $ alpha $ e il piano del fascio generato da s, passante per il punto $ P = alpha nn r $ .
Il calcolo mi dice che tale punto è l'origine.
Adesso, se faccio il fascio di piani con asse s, e provo a sostituire, si annullano i due piani, ovvero a sua volta s è incidente a r nell'origine.
Quindi non esiste una sola retta, ma infinite, contenute in $ alpha $ e passanti per l'origine.
Risposta a 2:
Per me, il problema non ammette soluzioni per le condizioni imposte.
Ho provato a fare il fascio di piani con asse y e a imporre il passaggio per A.
Adesso, per quello che dice il problema, tale piano dovrebbe essere parallelo a $beta$, ma non lo è, perchè i parametri direttori non sono proporzionali.
Adesso, dove ho sbagliato ??
I due quesiti proposti erano quesiti di un compito d'esame, e penso difficilmente che siano entrambi malposti, quindi dove sto sbagliando ??
Il vostro aiuto mi sarebbe tremendamente gradito.
Risposte
Nel primo punto commenti un errore abbastanza comune: il fatto che una retta sia perpendicolare ad una giacente in un piano, non implica che tale retta sia anch'essa perpendicolare al piano. Esempio banale: prendi il piano $z=0$ e la retta coincidente con l'asse delle $x$: la sua direzione è il vettore $(1,0,0)$. Ora, una qualsiasi retta passante per l'origine e di direzione $(0,a,b)$ risulta perpendicolare a tale asse ma non al piano dato (l'unica che soddisfa tale condizione è quella di direzione $(0,0,1)$). In realtà la retta è unica, e ciò è dovuto al fatto che hai un problema con tre condizioni e tre gradi di libertà.
Ovviamente, il problema 2 segue di conseguenza.
Ovviamente, il problema 2 segue di conseguenza.
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