Problemi di geometria
salve a tutti
vi chiedo scusa se nei prossimi giorni vi bombardero di numerose richieste,principalmente di esercizi,ma ho appena iniziato con la materia,e il libro di esercizi mi arriva il 24,quindi per in momento sarete voi la mia bibbia(ma anche in futuro
)
cominciamo subito con due esercizi
1)Si consideri il seguente sistema lineare $S$ nelle incognite $x,y,z,w: \{((a+1)x-y+vz=2),(y+w=0),((b+1)x-y+w=4),(x=v):}$
a)Si calcoli l'insieme delle soluzioni di $S$ per $v=0$
b)Si calcoli la dimensione (come sottospazio affine) dello spazio delle soluzioni $S$ al variare del parametro $v in RR$
vi ringrazio fin da subito per tutto l'aiuto che mi fornirete,ma soprattutto della pazienza che avrete nei miei confronti
purtroppo non ho proprio idea neanche di come iniziare,quindi dovro chiedervi di risolvere entrambi gli esercizi
vi chiedo scusa per la mia incapacita,e spero che con il vostro aiuto potro colmare rapidamente le mie lacune(che sono piu dei buchi neri)
vi chiedo scusa se nei prossimi giorni vi bombardero di numerose richieste,principalmente di esercizi,ma ho appena iniziato con la materia,e il libro di esercizi mi arriva il 24,quindi per in momento sarete voi la mia bibbia(ma anche in futuro
)cominciamo subito con due esercizi
1)Si consideri il seguente sistema lineare $S$ nelle incognite $x,y,z,w: \{((a+1)x-y+vz=2),(y+w=0),((b+1)x-y+w=4),(x=v):}$
a)Si calcoli l'insieme delle soluzioni di $S$ per $v=0$
b)Si calcoli la dimensione (come sottospazio affine) dello spazio delle soluzioni $S$ al variare del parametro $v in RR$
vi ringrazio fin da subito per tutto l'aiuto che mi fornirete,ma soprattutto della pazienza che avrete nei miei confronti
purtroppo non ho proprio idea neanche di come iniziare,quindi dovro chiedervi di risolvere entrambi gli esercizi
vi chiedo scusa per la mia incapacita,e spero che con il vostro aiuto potro colmare rapidamente le mie lacune(che sono piu dei buchi neri)
Risposte
Procediamo con ordine ... Prima di tutto, riscrivi il sistema lineare $S$ sotto forma di matrice completa $ D=(A,b) $, considerando già $v=0$, cioè
$ D=((x,y,z,w,t.n.),((a+1),-1,0,0,2), (0,1,0,1,0), ((b+1), -1, 0, 1, 4), (1,0,0,0,0)) $. Ora applica l'algoritmo di Gauss Jordan completo sulla matrice. Fai attenzione che il primo termine che trovi $ D_{1,1}=a+1 $, dove di $a$ non sia sa nulla (se è positivo o negativo). Quindi ti consiglio di procedere ad uno scambio di colonne, per esempio la seconda con la prima. Segue che la matrice che avrai sarà
$ ((y,x,z,w,t.n.),(-1, (a+1), 0,0,2), (1,0,0,1,0), (-1, (b+1), 0, 1, 4), (0,1,0,0,0)) $ Ora il primo elemento pivot è $ D_{1,1}=-1 $ e procedi iterativamente con l'algoritmo.
Un consiglio che ti dò è di procedere con l'algoritmo di Gauss-Jordan in modo che ad ogni iterazione l'elemento pivot $ D_{i+1, j+1} $ sia uguale a $1$ o a $-1$: questo comporterà degli scambi di colonna e/o di riga e, quindi, delle operazioni un po' più lunghe, ma sicure ok?
$ D=((x,y,z,w,t.n.),((a+1),-1,0,0,2), (0,1,0,1,0), ((b+1), -1, 0, 1, 4), (1,0,0,0,0)) $. Ora applica l'algoritmo di Gauss Jordan completo sulla matrice. Fai attenzione che il primo termine che trovi $ D_{1,1}=a+1 $, dove di $a$ non sia sa nulla (se è positivo o negativo). Quindi ti consiglio di procedere ad uno scambio di colonne, per esempio la seconda con la prima. Segue che la matrice che avrai sarà
$ ((y,x,z,w,t.n.),(-1, (a+1), 0,0,2), (1,0,0,1,0), (-1, (b+1), 0, 1, 4), (0,1,0,0,0)) $ Ora il primo elemento pivot è $ D_{1,1}=-1 $ e procedi iterativamente con l'algoritmo.
Un consiglio che ti dò è di procedere con l'algoritmo di Gauss-Jordan in modo che ad ogni iterazione l'elemento pivot $ D_{i+1, j+1} $ sia uguale a $1$ o a $-1$: questo comporterà degli scambi di colonna e/o di riga e, quindi, delle operazioni un po' più lunghe, ma sicure ok?
ok
poi?
quali sono i risultati che hai ottenuto?
ok arrivo a questo punto
$ ((y,x,z,w,t.n.),(-1, (a+1), 0,0,2), (0,1,0,0,0), (-1, (b+1), 0, 1, 4), (1,0,0,1,0)) $
a questo punto,pensato di scambiare $w$ con $z$,ma come faccio con $z$,e una colonna di zeri,e non posso tirar fuori un 1 o -1,per il 4 pivot!
ps:scusa la domanda ma il 1 , -1 non va applicato anke al t.n. giusto?
$ ((y,x,z,w,t.n.),(-1, (a+1), 0,0,2), (0,1,0,0,0), (-1, (b+1), 0, 1, 4), (1,0,0,1,0)) $
a questo punto,pensato di scambiare $w$ con $z$,ma come faccio con $z$,e una colonna di zeri,e non posso tirar fuori un 1 o -1,per il 4 pivot!
ps:scusa la domanda ma il 1 , -1 non va applicato anke al t.n. giusto?
Scusa ma non capisco il calcolo che hai fatto. Dall'ultima matrice che ti ho scritto, se applichi l'algoritmo di Gauss-Jordan, la matrice diventa
$ ((1, -(a+1), 0,0,-2), (0, a+1, 0,1,2), (0, b-a, 0,1,2), (0,1,0,0,0)) $ e poi procedi come ti ho detto all'inizio ...
$ ((1, -(a+1), 0,0,-2), (0, a+1, 0,1,2), (0, b-a, 0,1,2), (0,1,0,0,0)) $ e poi procedi come ti ho detto all'inizio ...
mmm ma come ci sei arrivato?
ps:non ho capito bene l'algoritmo visto l'erroraccio che ho fatto
ps:non ho capito bene l'algoritmo visto l'erroraccio che ho fatto
Potresti spiegarmi il ragionamento che hai fatto per determinare la tua matrice?
scusa la matrice era sbagliata era
$ ((y,x,z,w,t.n.),(-1, (a+1), 0,0,2), (0,1,0,0,0), (-1, (b+1), 0, 1, 4), (1,0,0,1,0)) $
be ho scambiato la 2 riga con la 4,ma mi sa ke ho sbagliato
$ ((y,x,z,w,t.n.),(-1, (a+1), 0,0,2), (0,1,0,0,0), (-1, (b+1), 0, 1, 4), (1,0,0,1,0)) $
be ho scambiato la 2 riga con la 4,ma mi sa ke ho sbagliato
Ma guarda che l'algoritmo di Gauss-Jordan non prevede di scambiare righe e/o colonne, per avere sulla diagonale principale elementi pari ad $1$. L'algoritmo di Gauss-Jordan prevede di effettuare delle "trasformazioni" sugli elementi della matrice, al fine di avere sulla diagonale principale elementi pari ad $1$, avvalendosi anche della possibilità di scambiare riche e/o colonne, ma solo per semplicare i calcoli dell'"operatore" ok?
ok capito,quindi il fatto di trovare un 1 o -1 e solo x semplificare i calcoli
nella tua matrice in particolare,che calcolo hai fatto x arrivare all'ultima?
nella tua matrice in particolare,che calcolo hai fatto x arrivare all'ultima?
L'algoritmo di Gauss-Jordan consiste nel
1) dividere la riga $h$-esima per $ a_{hj} $
2) sostituire, per ogni $ h != j $ la riga $i$-esima $ A_i$ con $ A_i - (a_{ij}/a_{hj})*A_h $
Quindi applica questo ragionamento alla matrice e ...
1) dividere la riga $h$-esima per $ a_{hj} $
2) sostituire, per ogni $ h != j $ la riga $i$-esima $ A_i$ con $ A_i - (a_{ij}/a_{hj})*A_h $
Quindi applica questo ragionamento alla matrice e ...
aargh mi perdo nei calcoli!nella prima riga ok,il concetto e facile,ma poi mi perdo!!!
non ti preoccupare ... all'inizio è normale, devi fare solo esercizi su esercizi!
scusa se abuso di te,ma mi fai vedere proprio il passaggio dalla seconda riga in giu?
(ad esempio 4+3/6 tipo)
(ad esempio 4+3/6 tipo)
Allora, consideriamo solo le prime due righe ok?
$ ( (-1,a+1,0,0,2), (1,0,0,1,2)) $. Il primo elemento che consideri come pivot è l'elemento $a_{11}=-1$. Quindi, in base a quanto ti ho scritto prima dividi la prima riga per $-1$ e hai $ 1,-(a+1), 0,0,-2 $. La seconda riga come si calcola
a) l'elemento sotto il pivot diventa nullo;
b) consideriamo l'elemento originario $ a_{22}$: questo diventa $a_{22} - (a_{21})/(a_{11})*a_{12} $, cioè $ 0 -1/(-1)*(a+1)=a+1 $
c) consideriamo l'elemento originario $ a_{23}$: questo diventa $a_{23} - (a_{21})/(a_{11})*a_{13} $, cioè $ 0 -1/(-1)*0=0 $
d) consideriamo l'elemento originario $ a_{24}$: questo diventa $a_{24} - (a_{21})/(a_{11})*a_{14} $, cioè $ 1 -1/(-1)*0=1 $
e così via per il termine noto e per le altre righe. Spero di averti reso l'idea!!
$ ( (-1,a+1,0,0,2), (1,0,0,1,2)) $. Il primo elemento che consideri come pivot è l'elemento $a_{11}=-1$. Quindi, in base a quanto ti ho scritto prima dividi la prima riga per $-1$ e hai $ 1,-(a+1), 0,0,-2 $. La seconda riga come si calcola
a) l'elemento sotto il pivot diventa nullo;
b) consideriamo l'elemento originario $ a_{22}$: questo diventa $a_{22} - (a_{21})/(a_{11})*a_{12} $, cioè $ 0 -1/(-1)*(a+1)=a+1 $
c) consideriamo l'elemento originario $ a_{23}$: questo diventa $a_{23} - (a_{21})/(a_{11})*a_{13} $, cioè $ 0 -1/(-1)*0=0 $
d) consideriamo l'elemento originario $ a_{24}$: questo diventa $a_{24} - (a_{21})/(a_{11})*a_{14} $, cioè $ 1 -1/(-1)*0=1 $
e così via per il termine noto e per le altre righe. Spero di averti reso l'idea!!
sei stato molto chiaro e ti ringrazio
domani procedero i calcoli per la parte b)
domani procedero i calcoli per la parte b)
ok dammi un occhiata per il secondo pivot ora
si parte da
$((y,x,z,w,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,(a+1),0,1,2),(0,(b-a),0,1,2),(0,1,0,0,0))$
faccio uno scambio tra la seconda e la quarta riga
$((y,x,z,w,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,1,0,0,0),(0,(b-a),0,1,2),(0,(a+1),0,1,2))$
e ottengo cosi il secondo pivot,cioe 1
ora,operando secondo l'algoritmo di gauss-jordan,ottengo
$((y,x,z,w,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,1,0,0,0),(0,0,0,1,2),(0,0,0,1,2))$
e corretto?
ps:se e corretto continuo in questo modo,cioe scambio $w$ con $z$ e ottengo il pivot 1 e la matrice
$((y,x,w,z,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,2),(0,0,0,0,0))$
ora che faccio?!?!?! l'ultima riga,dato che e tutta di 0,si dovrebbe eliminare credo
si parte da
$((y,x,z,w,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,(a+1),0,1,2),(0,(b-a),0,1,2),(0,1,0,0,0))$
faccio uno scambio tra la seconda e la quarta riga
$((y,x,z,w,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,1,0,0,0),(0,(b-a),0,1,2),(0,(a+1),0,1,2))$
e ottengo cosi il secondo pivot,cioe 1
ora,operando secondo l'algoritmo di gauss-jordan,ottengo
$((y,x,z,w,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,1,0,0,0),(0,0,0,1,2),(0,0,0,1,2))$
e corretto?
ps:se e corretto continuo in questo modo,cioe scambio $w$ con $z$ e ottengo il pivot 1 e la matrice
$((y,x,w,z,t.n.),(-1,-(a+1),0,0,-2),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,2),(0,0,0,0,0))$
ora che faccio?!?!?! l'ultima riga,dato che e tutta di 0,si dovrebbe eliminare credo
Diciamo che per alcune cose hai fatto bene, per altre no! Le cose sbagliate sono:
1) già nel post precedente, ti ho scritto che se consideri il pivot l'elemento $ a_{11}=-1 $, dividi la prima riga per $ -1 $ e, dunque la riga (compreso il pivot stesso) diventa $ 1, -(a+1), 0,0, -2 $ ok?
2) hai effettuato un passo di pivot parziale sulla matrice, perché quando, per esempio fai un passo di pivot sull'elemento $ a_{22}=1 $ non cambiano soltanto gli elementi che stanno sotto alla riga del pivot, ma anche quelli di sopra, cioè consideriamo la tua matrice (giusta! tranne per l'elemento $ a_{11} $)
$ ((1, -(a+1), 0,0,-2), (0, 1, 0,0,0), ( 0, (b-a), 0,1,2 ), (0, (a+1), 0,1,2 ) ) $. Ora se consideri l'elemento $ a_{22}=1 $ come pivot, gli elementi sotto la riga due sono giusti, ma sopra la riga 2 no. Infatti l'elemento $ a_{12} $ diventa nullo per l'algoritmo (in questo caso sei stato fortunato che hai trovato elementi nulli, ma l'algoritmo di Gauss-Jordan, se totale, deve essere applicato a tutti gli elementi)
Riguardo all'ultima riga, si questa può essere eliminata e, dunque, cosa puoi concludere?
1) già nel post precedente, ti ho scritto che se consideri il pivot l'elemento $ a_{11}=-1 $, dividi la prima riga per $ -1 $ e, dunque la riga (compreso il pivot stesso) diventa $ 1, -(a+1), 0,0, -2 $ ok?
2) hai effettuato un passo di pivot parziale sulla matrice, perché quando, per esempio fai un passo di pivot sull'elemento $ a_{22}=1 $ non cambiano soltanto gli elementi che stanno sotto alla riga del pivot, ma anche quelli di sopra, cioè consideriamo la tua matrice (giusta! tranne per l'elemento $ a_{11} $)
$ ((1, -(a+1), 0,0,-2), (0, 1, 0,0,0), ( 0, (b-a), 0,1,2 ), (0, (a+1), 0,1,2 ) ) $. Ora se consideri l'elemento $ a_{22}=1 $ come pivot, gli elementi sotto la riga due sono giusti, ma sopra la riga 2 no. Infatti l'elemento $ a_{12} $ diventa nullo per l'algoritmo (in questo caso sei stato fortunato che hai trovato elementi nulli, ma l'algoritmo di Gauss-Jordan, se totale, deve essere applicato a tutti gli elementi)
Riguardo all'ultima riga, si questa può essere eliminata e, dunque, cosa puoi concludere?
per il passaggio 2)
quindi alla fine,otteniamo una diagonale alla fine se ho ben capito
se l'ultima riga e nulla,il determinante della matrice e 0
quindi alla fine,otteniamo una diagonale alla fine se ho ben capito
se l'ultima riga e nulla,il determinante della matrice e 0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo