Problemi con compattezza e connessione
Buon pomeriggio.
Ho qualche problema (forse si è visto anche in un altro mio recente topic
) con compattezza e connessione.
Mi spiego meglio.
Dal punto di vista teorico ho capito i concetti, ma ho qualche difficoltà, trovandomi di fronte ad un esercizio, a capire come risolverlo (che approccio usare, quale aspetto sia meglio di volta in volta approfondire).
Potete darmi l'imbeccata per questi esercizi?
TESTO 1
Sia X uno spazio topologico.
Siano inoltre $A= {(x,y) in RR^2 : x^2 + y^2 = 2 }$ e
$B= {(x,y) in RR^2 : xy=1}$
Stabilire se sono connessi.
(Poi l'esercizio continua, ma lo scoglio è già qui)
TESTO 2
Sia $S= {(n-1)/n}_(n in NN) sub RR$
S è compatto? La topologia indotta su S dalla topologia euclidea su $RR$ è quella discreta?
SOLUZIONE 1 (si fa per dire...)
A è una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $sqrt2$. Non è specificato ma credo di dover utilizzare la topologia euclidea.
In generale io so che se un insieme è sconnesso posso scriverlo come unione disgiunta di due sottoinsiemi non vuoti aperti (o chiusi).
A occhio una circonferenza non può essere scritta in questo modo: se scelgo due intervalli aperti mi rimane fuori almeno un punto; con intervalli entrambi chiusi l'intersezione non è vuota.
(E mi sembra che la situazione sia analoga per B)
Però questa non è una dimostrazione (sempre ammesso poi che sia corretto ciò che dico).
Come posso rispondere alla domanda posta in modo rigoroso?
SOLUZIONE 2
Beh qui sono ancora più in alto mare...
Comunque, ho cominciato provando a scrivere i primi elementi di S, ma ho subito un problema. Con $NN$ si intenderà in questo caso l'insieme dei naturali incluso o escluso lo zero?
Comunque, ipotizzando che sia escluso $S={0, 1/2, 2/3, 3/4...} $ E' limitato ma non mi sembra un'informazione particolarmente rilevante...
Che faccio? Devo trovare i ricoprimenti?
Grazie per la pazienza.
Ciao
Ho qualche problema (forse si è visto anche in un altro mio recente topic
) con compattezza e connessione.Mi spiego meglio.
Dal punto di vista teorico ho capito i concetti, ma ho qualche difficoltà, trovandomi di fronte ad un esercizio, a capire come risolverlo (che approccio usare, quale aspetto sia meglio di volta in volta approfondire).
Potete darmi l'imbeccata per questi esercizi?
TESTO 1
Sia X uno spazio topologico.
Siano inoltre $A= {(x,y) in RR^2 : x^2 + y^2 = 2 }$ e
$B= {(x,y) in RR^2 : xy=1}$
Stabilire se sono connessi.
(Poi l'esercizio continua, ma lo scoglio è già qui)
TESTO 2
Sia $S= {(n-1)/n}_(n in NN) sub RR$
S è compatto? La topologia indotta su S dalla topologia euclidea su $RR$ è quella discreta?
SOLUZIONE 1 (si fa per dire...)
A è una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $sqrt2$. Non è specificato ma credo di dover utilizzare la topologia euclidea.
In generale io so che se un insieme è sconnesso posso scriverlo come unione disgiunta di due sottoinsiemi non vuoti aperti (o chiusi).
A occhio una circonferenza non può essere scritta in questo modo: se scelgo due intervalli aperti mi rimane fuori almeno un punto; con intervalli entrambi chiusi l'intersezione non è vuota.
(E mi sembra che la situazione sia analoga per B)
Però questa non è una dimostrazione (sempre ammesso poi che sia corretto ciò che dico).
Come posso rispondere alla domanda posta in modo rigoroso?
SOLUZIONE 2
Beh qui sono ancora più in alto mare...
Comunque, ho cominciato provando a scrivere i primi elementi di S, ma ho subito un problema. Con $NN$ si intenderà in questo caso l'insieme dei naturali incluso o escluso lo zero?
Comunque, ipotizzando che sia escluso $S={0, 1/2, 2/3, 3/4...} $ E' limitato ma non mi sembra un'informazione particolarmente rilevante...
Che faccio? Devo trovare i ricoprimenti?
Grazie per la pazienza.
Ciao
Risposte
sul primo dovresti avere qualche informazione in più sulla relazione tra X (e la sua tipologia) e gli insiemi A,B: sembrerebbe $X=RR^2$ con la topologia euclidea, ma non è specificato. l'osservazione che hai fatto sulla circonferenza può essere valida, ma non vale per l'iperbole (ci sono due rami "sconnessi").
per il secondo, visto che i punti sono infiniti, se la topologia è quella discreta è impossibile che sia connesso: basta prendere il ricoprimento banale costituito dagli infiniti insiemi di un punto, e da esso non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. però S potrebbe essere compatto, a seconda della topologia:
la tecnica generale è trovare un opportuno esempio (un ricoprimento che non ammetta un'estrazione finita) solo per dimostrare che un certo spazio non è compatto. al contrario, verificarne la compattezza richiede altri metodi, perché dovresti dimostrare che qualunque ricoprimento formato da infiniti insiemi non possa ammettere estrazione finita (dunque non è sufficiente trovare esempi).
spero di essere stata chiara e di non avere scritto sciocchezze. ciao.
per il secondo, visto che i punti sono infiniti, se la topologia è quella discreta è impossibile che sia connesso: basta prendere il ricoprimento banale costituito dagli infiniti insiemi di un punto, e da esso non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. però S potrebbe essere compatto, a seconda della topologia:
la tecnica generale è trovare un opportuno esempio (un ricoprimento che non ammetta un'estrazione finita) solo per dimostrare che un certo spazio non è compatto. al contrario, verificarne la compattezza richiede altri metodi, perché dovresti dimostrare che qualunque ricoprimento formato da infiniti insiemi non possa ammettere estrazione finita (dunque non è sufficiente trovare esempi).
spero di essere stata chiara e di non avere scritto sciocchezze. ciao.
Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta. Ci ho pensato un po' su...
Dunque per l'esercizio 1.
Anch'io avevo pensato a $(RR^2, \epsilon)$.
Ovviamente hai ragione su B: avevo stupidamente considerato solo il ramo nel primo quadrante
Beh, ma allora B è sconnesso: è unione disgiunta dei due rami di iperbole. Ciascuno dei due rami è sia aperto sia chiuso...giusto?
Ma allora per la circonferenza che devo fare? Come devo motivare?
Per il secondo non ho ben capito.
Io inizialmente devo valutarne la compattezza con la topologia euclidea (e in un secondo momento valutare se la topologia indotta su S sia discreta.
Ma come trovo questi ricoprimenti?
Grazie mille e buona serata
Dunque per l'esercizio 1.
Anch'io avevo pensato a $(RR^2, \epsilon)$.
Ovviamente hai ragione su B: avevo stupidamente considerato solo il ramo nel primo quadrante
Beh, ma allora B è sconnesso: è unione disgiunta dei due rami di iperbole. Ciascuno dei due rami è sia aperto sia chiuso...giusto?
Ma allora per la circonferenza che devo fare? Come devo motivare?
Per il secondo non ho ben capito.
Io inizialmente devo valutarne la compattezza con la topologia euclidea (e in un secondo momento valutare se la topologia indotta su S sia discreta.
Ma come trovo questi ricoprimenti?
Grazie mille e buona serata
prego, e buona serata anche a te.
per la circonferenza il ragionamento fatto va adattato ad $RR^2$, dunque devi considerare gli aperti di $RR^2$ e le loro intersezioni con la circonferenza, per il resto mi pare che vada bene. possiamo comunque anche aspettare altri pareri.
per l'altro esercizio, nota che la successione tende ad $1$, dunque basta prendere una successione di aperti, magari con il primo estremo in comune e con il secondo estremo variabile, minore di 1, che sia un ricoprimento (nulla vieta di considerare il secondo estremo proprio della forma del generico termine della successione, come $n/(n+1)$), e da esso non puoi estrarre alcun sottoricoprimento finito.
riflettici su e facci sapere. ciao.
per la circonferenza il ragionamento fatto va adattato ad $RR^2$, dunque devi considerare gli aperti di $RR^2$ e le loro intersezioni con la circonferenza, per il resto mi pare che vada bene. possiamo comunque anche aspettare altri pareri.
per l'altro esercizio, nota che la successione tende ad $1$, dunque basta prendere una successione di aperti, magari con il primo estremo in comune e con il secondo estremo variabile, minore di 1, che sia un ricoprimento (nulla vieta di considerare il secondo estremo proprio della forma del generico termine della successione, come $n/(n+1)$), e da esso non puoi estrarre alcun sottoricoprimento finito.
riflettici su e facci sapere. ciao.
Scusate l'intromissione. Volevo segnalare a lewis un risultato sulla connessione che in molti casi può essere utile.
Si tratta di una caratterizzazione degli spazi topologici connessi, precisamente questo:
La dimostrazione è abbastanza semplice:
La $a)\Rightarrow b)$ è ovvia, basta scegliere $A=X$.
La $b)\Rightarrow a)$ si fa per assurdo (@lewis: puoi provare a dimostrarlo se ti va).
Secondo me, per la circonferenza $C$ puoi usare questo risultato.
Per dimostrare che $C$ è connessa, ti basta trovare per ogni coppia di punti su $C$ un connesso che li contiene entrambi (per esempio un "pezzo di curva", che essendo immagine di un intervallo è connesso).
Pensaci un po'. Se ci sono dubbi, siamo qui.
Si tratta di una caratterizzazione degli spazi topologici connessi, precisamente questo:
Sia $X$ uno spazio topologico. Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
a) $X$ è connesso;
b) Per ogni $x,y\in X$ esiste un sottoinsieme connesso $A$ di $X$ tale che $x,y\in A$.
La dimostrazione è abbastanza semplice:
La $a)\Rightarrow b)$ è ovvia, basta scegliere $A=X$.
La $b)\Rightarrow a)$ si fa per assurdo (@lewis: puoi provare a dimostrarlo se ti va).
Secondo me, per la circonferenza $C$ puoi usare questo risultato.
Per dimostrare che $C$ è connessa, ti basta trovare per ogni coppia di punti su $C$ un connesso che li contiene entrambi (per esempio un "pezzo di curva", che essendo immagine di un intervallo è connesso).
Pensaci un po'. Se ci sono dubbi, siamo qui.
"cirasa":
Scusate l'intromissione.
Ma figurati!! Anzi, grazie!
"cirasa":
Secondo me, per la circonferenza $C$ puoi usare questo risultato.
Per dimostrare che $C$ è connessa, ti basta trovare per ogni coppia di punti su $C$ un connesso che li contiene entrambi (per esempio un "pezzo di curva", che essendo immagine di un intervallo è connesso).
Pensaci un po'. Se ci sono dubbi, siamo qui.
Magari è una domanda stupida...ma perchè l'intervallo, per esempio $(a, b)$ di cui faccio l'immagine e di cui cioè trovo il pezzo di circonferenza associato è connesso?
Provo ad applicare il metodo che mi hai suggerito (in realtà l'abbiamo fatto a lezione, ma non avevo pensato di applicarlo qui).
Prendo due qualsiasi punti sulla circonferenza, per esempio $(c_1, c_2)$ e $(d_1, d_2)$, compresi tra $(a_1, a_2)$ e $(b_1, b_2)$ estremi del mio pezzettino di curva (il sottoinsieme che dimostro essere connesso).
Questo pezzo di curva è immagine di un intervallo connesso (come lo scrivo quest'intervallo? Io pensavo così, ma mi sembra orribile:
$((a_1, b_1)$$, (a_2, b_2))$)
Dove sbaglio?
E se dovessi stabilire se l'insieme è compatto?
Grazie e scusa per la mia testa dura!!
Edit: L'intervallo era scritto male
"lewis":
...ma perchè l'intervallo, per esempio $(a, b)$ di cui faccio l'immagine e di cui cioè trovo il pezzo di circonferenza associato è connesso?
Perchè si dimostra che i sottoinsiemi di $RR$ connessi sono tutti e soli gli intervalli (eventualmente illimitati).
E' un risultato abbastanza noto. Se non l'hai fatto o vuoi una dimostrazione, dimmelo e te la scrivo oppure ti dò un riferimento bibliografico.
Per l'applicazione del risultato che ti avevo dato alla circonferenza, io avevo pensato ad una cosa del genere: prendo due punti sulla circonferenza [tex]A(\sqrt{2}\cos\theta_1,\sqrt{2}\sin\theta_1)[/tex] e [tex]B(\sqrt{2}\cos\theta_2,\sqrt{2}\sin\theta_2)[/tex].
Quale può essere una curva [tex]\gamma:[a,b]\to C[/tex] il cui supporto (che è connesso) contiene [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]?
"lewis":
E se dovessi stabilire se l'insieme è compatto?
Come ti ha detto AdaBTTLS, per stabilire l'eventuale compattezza di uno spazio topologico generico devi verificarne la definizione (o qualche formulazione equivalente).
Se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito, allora il tuo spazio sarà compatto.
Se esiste un ricoprimento aperto da cui non si può estrarre alcun sottoricoprimento finito, allora non lo sarà.
Nel secondo esercizio che avevi proposto, l'idea è questa.
Talvolta, nel caso di sottoinsiemi di $RR^n$, per esempio nel caso della circonferenza o dei due rami di iperbole, puoi ricordare una caratterizzazioni dei compatti:
Sia $X$ un sottoinsieme di $RR^n$ (munito della topologia indotta). Allora $X$ è compatto se e solo se $X$ è chiuso e limitato.
Alla luce di questo risultato la circonferenza è compatta? E l'insieme formato dai due rami di iperbole?
Ciao.
Scusami, ma non ci arrivo...come scelgo la curva? E perchè hai scelto così i punti?
Il mio problema della compattezza è che non riesco a capire come applicare la definizione.
Cioè, consideriamo la circonferenza.
Io devo verificare che per qualunque ricoprimento della mia circonferenza esista un sottoricoprimento finito.
Se è così, il mio sottoinsieme è compatto. Se invece trovo un ricoprimento che non possieda sottoricoprimento finito, non è compatto.
Aldilà del fatto che non riesco a capire come "costruire" il ricoprimento (devo usare gli aperti di $\epsilon$ su $RR^2$? E come sono fatti?. Questo metodod lo uso se devo dimostrare che non è compatto (trovo un ricoprimento senza sottoricoprimenti finiti e voilà)
Ma se devo mostrare che è compatto? Mica posso valutare tutti i ricoprimenti dell'insieme (che suppongo essere infiniti!).
Devo vedere se il sottoinsieme è chiuso (Cioè se posso scriverlo come $RR^2 - F$ con F aperto della topologia euclidea su $RR^2$) e limitato?
Scusami...
Ciao
Scusami, ma non ci arrivo...come scelgo la curva? E perchè hai scelto così i punti?
Il mio problema della compattezza è che non riesco a capire come applicare la definizione.
Cioè, consideriamo la circonferenza.
Io devo verificare che per qualunque ricoprimento della mia circonferenza esista un sottoricoprimento finito.
Se è così, il mio sottoinsieme è compatto. Se invece trovo un ricoprimento che non possieda sottoricoprimento finito, non è compatto.
Aldilà del fatto che non riesco a capire come "costruire" il ricoprimento (devo usare gli aperti di $\epsilon$ su $RR^2$? E come sono fatti?. Questo metodod lo uso se devo dimostrare che non è compatto (trovo un ricoprimento senza sottoricoprimenti finiti e voilà)
Ma se devo mostrare che è compatto? Mica posso valutare tutti i ricoprimenti dell'insieme (che suppongo essere infiniti!).
Devo vedere se il sottoinsieme è chiuso (Cioè se posso scriverlo come $RR^2 - F$ con F aperto della topologia euclidea su $RR^2$) e limitato?
Scusami...
Ciao
Ok, allora ti dico come avevo pensato di concludere il primo esercizio.
Io avevo pensato di considerare per ogni coppia di punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] che hanno coordinate come nel mio messaggio precedente, la curva [tex]\gamma:[\theta_1,\theta_2]\to C[/tex] tale che [tex]\gamma(t)=(\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t)[/tex].
L'applicazione [tex]\gamma[/tex] è continua, il suo supporto [tex]\gamma([\theta_1,\theta_2])[/tex] è connesso (immagine di [tex][\theta_1,\theta_2][/tex] connesso) e contiene [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] (perchè [tex]A=\gamma(\theta_1)[/tex] e [tex]B=\gamma(\theta_2)[/tex]).
Quindi per ogni coppia di punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] della circonferenza [tex]C[/tex] esiste un connesso che li contiene entrambi.
Dal risultato che ti avevo citato si ha che [tex]C[/tex] è connesso.
Per la compattezza di [tex]C[/tex], come ti ho detto precedentemente, puoi sfruttare il fatto che [tex]C[/tex] è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Domande: [tex]C[/tex] è chiuso (come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex])? [tex]C[/tex] è limitato (come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex])?
Se la risposta ad entrambe le domande è sì, allora [tex]C[/tex] è compatto, altrimenti non lo è. Facci sapere se ci sono ancora problemi.
Io avevo pensato di considerare per ogni coppia di punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] che hanno coordinate come nel mio messaggio precedente, la curva [tex]\gamma:[\theta_1,\theta_2]\to C[/tex] tale che [tex]\gamma(t)=(\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t)[/tex].
L'applicazione [tex]\gamma[/tex] è continua, il suo supporto [tex]\gamma([\theta_1,\theta_2])[/tex] è connesso (immagine di [tex][\theta_1,\theta_2][/tex] connesso) e contiene [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] (perchè [tex]A=\gamma(\theta_1)[/tex] e [tex]B=\gamma(\theta_2)[/tex]).
Quindi per ogni coppia di punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] della circonferenza [tex]C[/tex] esiste un connesso che li contiene entrambi.
Dal risultato che ti avevo citato si ha che [tex]C[/tex] è connesso.
Per la compattezza di [tex]C[/tex], come ti ho detto precedentemente, puoi sfruttare il fatto che [tex]C[/tex] è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Domande: [tex]C[/tex] è chiuso (come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex])? [tex]C[/tex] è limitato (come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex])?
Se la risposta ad entrambe le domande è sì, allora [tex]C[/tex] è compatto, altrimenti non lo è. Facci sapere se ci sono ancora problemi.
"cirasa":
Ok, allora ti dico come avevo pensato di concludere il primo esercizio.
Io avevo pensato di considerare per ogni coppia di punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] che hanno coordinate come nel mio messaggio precedente, la curva [tex]\gamma:[\theta_1,\theta_2]\to C[/tex] tale che [tex]\gamma(t)=(\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t)[/tex].
L'applicazione [tex]\gamma[/tex] è continua, il suo supporto [tex]\gamma([\theta_1,\theta_2])[/tex] è connesso (immagine di [tex][\theta_1,\theta_2][/tex] connesso) e contiene [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] (perchè [tex]A=\gamma(\theta_1)[/tex] e [tex]B=\gamma(\theta_2)[/tex]).
Quindi per ogni coppia di punti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] della circonferenza [tex]C[/tex] esiste un connesso che li contiene entrambi.
Dal risultato che ti avevo citato si ha che [tex]C[/tex] è connesso.
Grazie. Non ci sarei mai arrivata.
Ora me lo riscrivo e ci penso su.
"cirasa":
Per la compattezza di [tex]C[/tex], come ti ho detto precedentemente, puoi sfruttare il fatto che [tex]C[/tex] è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Domande: [tex]C[/tex] è chiuso (come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex])? [tex]C[/tex] è limitato (come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex])?
Se la risposta ad entrambe le domande è sì, allora [tex]C[/tex] è compatto, altrimenti non lo è. Facci sapere se ci sono ancora problemi.
Dunque. Limitato direi di sì perchè esiste una palla di centro per esempio il centro della circonferenza e raggio $1 + \epsilon$ con $\epsilon >0$, che contiene la circonferenza.
Chiuso direi ancora di sì: Perchè la circonferenza non ha "buchi", contiene tutta la sua frontiera (che è poi se stessa, o sbaglio?).
Quindi per Heine-Borel è compatta.
Così va bene?
Grazie mille, cirasa, hai una pazienza...
E grazie anche ad AdaBTTLS per l'aiuto.
Non credo che non ci saresti mai arrivata.
Secondo me, non hai ancora visualizzato il problema. Stai considerando la circonferenza centrata nell'origine di raggio [tex]\sqrt{2}[/tex].
Ce l'hai presente? Bene.
Prendi due punti qualsiasi sulla circonferenza, prima li abbiamo chiamati [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] (sto supponendo -prima non l'ho detto- che $A$ sia individuato dall'angolo compreso fra $0$ e $2pi$ più piccolo).
Come posso prendere una curva che li collega?
Beh, non ci sono molte possibilità: posso partire da $A$ e proseguendo in senso antiorario, arrivo a $B$.
Ora non mi resta che parametrizzare questo pezzo di curva e il gioco è fatto.
Vabbè questo è stato il mio modo di ragionare.
Veniamo all'altro problema:
1) $C$ è limitata?
Tu hai detto che "$C$ è contenuta in una palla di raggio $1+epsilon$". $1+epsilon$? E chi è $epsilon$?
A me importa che $C$ sia contenuta in una qualsiasi palla, che ne so raggio $2$? Mi sembra più che sufficiente! Basta scegliere un raggio strettamente maggiore di $sqrt(2)$ e va bene.
2) $C$ è chiusa?
Quello che dici tu ("$C$ contiene la sua frontiera") è giusto, ma devi darne una giustificazione rigorosa.
Io direi che è meglio usare i suggerimenti che ti ha dato Dissonance tempo fa in questo thread (se hai tempo e voglia, riguardalo)
Consideriamo la funzione $f:RR^2\to RR$ tale che $f(x,y)=x^2+y^2-2$.
Forse forse $C=f^{-1}({0})$...
Secondo me, non hai ancora visualizzato il problema. Stai considerando la circonferenza centrata nell'origine di raggio [tex]\sqrt{2}[/tex].
Ce l'hai presente? Bene.
Prendi due punti qualsiasi sulla circonferenza, prima li abbiamo chiamati [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] (sto supponendo -prima non l'ho detto- che $A$ sia individuato dall'angolo compreso fra $0$ e $2pi$ più piccolo).
Come posso prendere una curva che li collega?
Beh, non ci sono molte possibilità: posso partire da $A$ e proseguendo in senso antiorario, arrivo a $B$.
Ora non mi resta che parametrizzare questo pezzo di curva e il gioco è fatto.
Vabbè questo è stato il mio modo di ragionare.
Veniamo all'altro problema:
1) $C$ è limitata?
Tu hai detto che "$C$ è contenuta in una palla di raggio $1+epsilon$". $1+epsilon$? E chi è $epsilon$?
A me importa che $C$ sia contenuta in una qualsiasi palla, che ne so raggio $2$? Mi sembra più che sufficiente! Basta scegliere un raggio strettamente maggiore di $sqrt(2)$ e va bene.
2) $C$ è chiusa?
Quello che dici tu ("$C$ contiene la sua frontiera") è giusto, ma devi darne una giustificazione rigorosa.
Io direi che è meglio usare i suggerimenti che ti ha dato Dissonance tempo fa in questo thread (se hai tempo e voglia, riguardalo)
Consideriamo la funzione $f:RR^2\to RR$ tale che $f(x,y)=x^2+y^2-2$.
Forse forse $C=f^{-1}({0})$...
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