Problemi con applicazione lineare con parametro

[grorarn]

Buongiorno a tutti, ho un problema con la risoluzione di una applicazione lineare con un parametro, ci sto sbattendo la testa da più giorni ma senza risultati apprezzabili. Se poteste darmi una mano ve ne sarei grato!
L'esercizio è il seguente

Sia a appartenente a R e sia Fa : R3 -> R3 l’applicazione lineare definita da
Fa(x, y, z) = (x + (1 - a)z, x -y + z, ax - y).
a) scrivere la matrice associata a fa mediante la base canonica di R3;
bi) determinare al variare di a appartenente a R la dimensione di Im(Fa) e una sua base;
c) dire per quali valori di a appartenenti a R si ha ker(Fa) diverso da 0 e per tali valori determinarne una
base


allora io scrivo la matrice associata
$ {: ( 1 , 0 , 1-a ),( 1 , -1 , 1 ),( a , -1 , 0 ) :} $

trovo poi il determinante e riesco a capire che il parametro su cui devo lavorare è se la a=0 V a diverso da 0

sostituendo a=0 trovo che la prima e la terza colonna sono uguali, quindi la dimensione della Im(Fa) è uguale a 2 (e come base uso la seconda e la terza colonna) ? e invece se ha è diverso da 0 la dimensione quale sarà?

inoltre io so che la dimensione del Ker si ha per differenza della dimensione R3 - im (Fa), ma se il parametro è differente da 0 una base (e quindi la dimensione) del kernel quale sarà?

Grazie in anticipo della eventuale spiegazione che riceverò, se c'è una cosa che non ho mai capito sono le applicazioni lineari col parametro.. Mi fanno discretamente imbestialire

[MrMojito]

Per valori di a diversi da 0, hai come rango della matrice associata 3, pertanto la dimensione dell'immagine sarà 3 e come base puoi prendere questi 3 vettori ( dal momento che hai verificato che fossero indipendenti)
se hai a diverso da 0 come ho detto prima la dimensione dell'immagine è 3, e quindi la dimensione del kernel è di conseguenza 0.

Se hai altri dubbi fammi sapere