Problema topologico
Ciao a tutti,
ho questo dilemma di natura topologica che non riesco a risolvere,spero possiate aitutarmi:
sia K un sottoinsieme compatto del piano complesso consideriamo $S^2$, la compattificazioen del piano complesso con l'aggiunta di $oo$, cioè la sfera di Riemann. Le componenti connesse di $S^2$\K sono al più numerabili.
Ma non sono semplicemente un numero finito di componenti?
ho questo dilemma di natura topologica che non riesco a risolvere,spero possiate aitutarmi:
sia K un sottoinsieme compatto del piano complesso consideriamo $S^2$, la compattificazioen del piano complesso con l'aggiunta di $oo$, cioè la sfera di Riemann. Le componenti connesse di $S^2$\K sono al più numerabili.
Ma non sono semplicemente un numero finito di componenti?
Risposte
io ho provato a dimostrarlo così:
$AA$ $V_i$$in$$S^2$\K con i=1,2,... consideriamo $a_i$$in$$V_i$ e scartiamo la componente illimitata, cioè quella a cui appartiene $oo$
Siccome K compatto nel piano $EE$ r>0 t.c. K$sube$D con D intendo il disco chiuso di raggio R>r $=>$ gli $a_i$ si accumulano in D quindi definitivamente appartengono ad una $V_j$
secondo voi è giusto?
$AA$ $V_i$$in$$S^2$\K con i=1,2,... consideriamo $a_i$$in$$V_i$ e scartiamo la componente illimitata, cioè quella a cui appartiene $oo$
Siccome K compatto nel piano $EE$ r>0 t.c. K$sube$D con D intendo il disco chiuso di raggio R>r $=>$ gli $a_i$ si accumulano in D quindi definitivamente appartengono ad una $V_j$
secondo voi è giusto?
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