Problema Topologia
Ciao a tutti! Avrei un problema con un esercizio di topologia... ho una ipersfera $S$ nello spazio euclideo di dimensione 5 centrata nell'origine e di raggio 1 (con topologia indotta da quella euclidea) a cui viene tolto l'insieme $A$ = ${(x_1,... x_5) in S | x_4=x_5=0}$. Mi si chiede di dimostrare che $S-A $ è connesso per archi e di calcolarne il gruppo fondamentale. Io avevo pensato, visto che $A$ è omeomorfo a una sfera in $RR^3$, di operare qualche retrazione sulla sfera stessa, ma non riesco a venirne fuori. Grazie a tutti!
Risposte
La retrazione per deformazione canonica di \(\displaystyle \mathbb R^{n+1} \setminus\{0\} \) nella sfera \(\displaystyle S^n \) è la mappa
\(\displaystyle F(x,t)=t\frac{x}{\Vert x \Vert} + (1-t)x \)
Se ora consideri l'immersione naturale \(\displaystyle i: \mathbb R^3 \setminus\{0\} \rightarrow \mathbb R^5 \setminus\{0\} \) e definisci \(\displaystyle G(x,t)=F(i(x),t) \), ottieni che \(\displaystyle S^4 \setminus A \) è connesso per archi perché omotopo a \(\displaystyle \mathbb R^3 \setminus\{0\} \), e in particolare che è semplicemente connesso perché retratto per deformazione di un semplicemente connesso.
\(\displaystyle F(x,t)=t\frac{x}{\Vert x \Vert} + (1-t)x \)
Se ora consideri l'immersione naturale \(\displaystyle i: \mathbb R^3 \setminus\{0\} \rightarrow \mathbb R^5 \setminus\{0\} \) e definisci \(\displaystyle G(x,t)=F(i(x),t) \), ottieni che \(\displaystyle S^4 \setminus A \) è connesso per archi perché omotopo a \(\displaystyle \mathbb R^3 \setminus\{0\} \), e in particolare che è semplicemente connesso perché retratto per deformazione di un semplicemente connesso.
Grazie mille!
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