Problema teorico sulle matrici

[pon921]

Ragazzi ho bisogno di una mano! So fare gli esercizi numerici ma non ho idea di come risolvere questi perchè non li ho mai fatti!
Grazie in anticipo!

Se A è una matrice quadrata con determinante uguale a 2, A puà avere 0 come autovalore? Motivare la risposta

[mistake89]

Che vuol dire che $0$ è autovalore per $A$ o per l'endomorfismo ad essa associato?
E cosa vuol dire che una matrice quadrata ha determinante uguale a $2 ne 0$.

E ancora... il rango di una matrice rappresentativa di un endomorfismo è la dimensione dell'immagine.
E conosci il teorema della dimensione.

Metti insieme tutti questi elementi ed hai tesi e dimostrazione

[pon921]

non so se ho capito bene. la risposta è no?
Allora se io ho un autovalore di A uguale a 0 vuol dire che nella forma diagonale avrò uno zero nella diagonale principale....e che A (x y z) = 0
Se il detA diverso da 0 vuol dire che le colonne di A possono essere considerate dei vettori linearmente indipendenti...
rgA = dimV fin qua ci sono ma non capisco come collegare tutte queste cose :S

[mistake89]

Sia $V$ di dim $n$. $f in End (V)$ e $A$ matrice di $f$ rispetto ad una certa base $B$. Supponiamo che $0$ sia autovalore. Allora per definizione esiste almeno un vettore $v$ non nullo tale che $f(v)=0*v=0$, cioè il $kerf$ non è banale, ha cioè dimensione al minimo $1$.
D'altra parte $det(A)=2 ne 0$ cioè $rg(A)=dim(Imf)=n$.

Dal teorema della dimensione sappiamo che $dimV=dimImf+dimKerf$ cioè $n=n+1$ il che è assurdo.