Problema sull'ortogonalità di autovettori
salve a tutti
C'è un teorema che dice che se un operatore simmetrico F:V->V con V spazio vettoriale euclideo, ammette due autovalori $\lambda$ e $\mu$, ogni autovettore relativo a $\lambda$ è ortogonale ad ogni autovettore relativo a $\mu$
La dimostrazione e semplice, ma ne posso dedurre che v e w autovettori relativi a $\lambda$ e $\mu$ rispettivamente sono ortogonali qualsiasi sia il prodotto scalare che definisco su V? perché cambiando il prodotto scalare l'operatore rimane lo stesso cosi come gli stessi rimarranno gli autovalori e gli autospazi quindi direi di si perché le ipotesi del teorema rimangono le stesse, anche se a me sembra anti intuitivo
C'è un teorema che dice che se un operatore simmetrico F:V->V con V spazio vettoriale euclideo, ammette due autovalori $\lambda$ e $\mu$, ogni autovettore relativo a $\lambda$ è ortogonale ad ogni autovettore relativo a $\mu$
La dimostrazione e semplice, ma ne posso dedurre che v e w autovettori relativi a $\lambda$ e $\mu$ rispettivamente sono ortogonali qualsiasi sia il prodotto scalare che definisco su V? perché cambiando il prodotto scalare l'operatore rimane lo stesso cosi come gli stessi rimarranno gli autovalori e gli autospazi quindi direi di si perché le ipotesi del teorema rimangono le stesse, anche se a me sembra anti intuitivo
Risposte
Si chiama Teorema degli assi Principali.
Dice che una matrice \(\displaystyle A \) è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se ha n autovettori ortonormali se e solo se è simmetrica.
Gli n autovettori ortonormali devono essere presenti affinché la matrice diagonalizzante \(\displaystyle P \) composta per colonne dagli autovettori di \(\displaystyle A \), sia una matrice ortogonale, ovvero invertibile trasponendola.
Una matrice però è ortogonale quando ha righe e colonne ortonormali, ovvero (per le colonne) quando una colonna "scalar" se stessa da 1, mentre da 0 con tutte le altre.
Se il prodotto scalare, comunque definito, soddisfa tutte queste cose, e rende quindi la matrice diagonalizzante una matrice ortogonale, allora il teorema continua a valere.
Nota bene: in generale comunque, un prodotto scalare per essere definito tale deve soddisfare solo 4 assiomi: commutatività, distributività, omogeneità, positività.
Per approfondire vedi Polinomi di Lagrange o di Legendre.
Dice che una matrice \(\displaystyle A \) è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se ha n autovettori ortonormali se e solo se è simmetrica.
Gli n autovettori ortonormali devono essere presenti affinché la matrice diagonalizzante \(\displaystyle P \) composta per colonne dagli autovettori di \(\displaystyle A \), sia una matrice ortogonale, ovvero invertibile trasponendola.
Una matrice però è ortogonale quando ha righe e colonne ortonormali, ovvero (per le colonne) quando una colonna "scalar" se stessa da 1, mentre da 0 con tutte le altre.
Se il prodotto scalare, comunque definito, soddisfa tutte queste cose, e rende quindi la matrice diagonalizzante una matrice ortogonale, allora il teorema continua a valere.
Nota bene: in generale comunque, un prodotto scalare per essere definito tale deve soddisfare solo 4 assiomi: commutatività, distributività, omogeneità, positività.
Per approfondire vedi Polinomi di Lagrange o di Legendre.
grazie per il chiarimento, anche se fatico un po a seguirti, l'algebra lineare ti confonde la testa 
. Comunque penso di aver capito bene o male
. Comunque penso di aver capito bene o male
Ti insegna a ragionare molto, anche se all'inizio sembra strana 
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