Problema sull'Indipendenza Lineare

[fenghuang]

Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio sull'indipendenza lineare e avrei qualche dubbio. Ecco il testo:

Discutere l'indipendenza lineare dei seguenti vettori di $CC^3$ al variare del parametro $h \in CC$

$((1),(0),(2i))$ $((h),(i),(2))$ $((0),(h),(1))$

Premesso che non sono proprio un campione coi numeri complessi, ecco quello che ho fatto io(vorrei sapere cosa pensate del procedimento, se avete suggerimenti o se vedete degli errori)

considero

x$((1),(0),(2i))$ + y $((h),(i),(2))$ + z$((0),(h),(1))$ = $((0),(0),(0))$

e imposto il sistema

$\{(x + hy = 0),(i y + hz = 0),(2i x + 2 y + c = 0):} rArr \{(x = - hy),(y = - (hz)/i ),(z= 2ihy - 2y):} rArr \{(x = - hy),(y + 2h^2 y - 2h/i y = 0 ),(z= 2ihy - 2y):} rArr \{(x = - hy),(y (2h^2 - 2h/i +1) = 0 ),(z= 2ihy - 2y):} $

da qui la prima cosa evidente è che se $h = 0$ i vettori sono linearmente indipendenti
Ora non so come procedere. O meglio, se risolvo l'equazione $2h^2 - 2h/i +1=0$ trovo due valori di h per cui i vettori sono linearmente dipendenti giusto, e quindi non è che mi serva a molto giusto? come posso fare per trovare tutti i valori di h per cui i vettori sono linearmente indipendenti?

ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto e l'attenzione

[ciampax]

Ma t'hanno mai detto che il determinante di una matrice $3\times 3$, se diverso da zero, implica che il rango della matrice è pari a $3$ e quindi che le 3 colonne sono linearmente indipendenti?

[fenghuang]

quindi, correggimi se sbaglio, se considero

$det ((1,h,0),(0,i,h),(2i,2,1)) = i det((1,0),(2i,1)) - h det((1,2i),(h,2)) = i - h(2-2hi) = 2h^2 i -2h + i $

a questo punto trovo quali sono i valori per cui il determinante è uguale a zero e quindi per tutti gli altri valori i miei vettori sono lin. indipendenti giusto?

se sì, un'altra domanda: nel caso in cui avessi delle matrici al posto di vettori e mi venisse chiesto di determinare per quali valori di $k \in RR$ esse sono linearmente indipendenti? Ad esempio se ho

$((1,-2),(3,k)) ((2,-4),(1,1)) ((-1,2k),(0,k^2)) ((0,k+3),(0,0))$

grazie per l'aiuto

[ciampax]

1) sì, esatto.
2) trasforma le matrici in vettori colonna e riapplica lo stesso procedimento. Del resto puoi osservare che la prima matrice è tutta moltiplicata per $x$, la seconda per $y$ ecc, per cui se scrivi il sistema, la matrice dei coefficienti dello stesso ha come prima colonna i valori della prima matrice, come seconda colonna quelli della seconda matrice, ecc...