Problema sulle dimensioni

[poel]

Ciao ragazzi avrei bisogno di una mano per risolvere questo quesito:

Siano $U$ e $W$ i sottospazi di $RR^4$ così definiti:
$u=(x+y-z=0,x+y-t=0)$
$w=L \{(2,0,1,1), (1,0,h ,1),( h,0,1,1)\}$

dire per quali valori di h risulta somma diretta $u+w=r^4$

e per quali valori di $h$ risulta $u+w=r^4$ somma diretta

questi tipi di esercizi sono gli unici che non riesco a risolvere nella prova d'esame, qualcuno saprebbe indicarmi come si procede?

[Gaber1]

ok ci riprovo

[poel]

ti posto l'immagine dell'esercizio, così siamo sicuri di intenderci:

http://uptiki.altervista.org/_altervista_ht/aw9z8bxt7d4gqsri779.png [link non funzionante]

[Gaber1]

Allora per $U$ trova sempre una base, per esmpio io ho trovato questa $U=[(x=-y+2z),(t=-3y+4z)]$ ovvero
$|(-1,2),(1,0),(0,1),(-3,4)|$ che ha dimensione 2.... e fino a qui ok
la differenza tra le soluzioni sta nel fatto che in $0$ il la $dimW(0)=1$ e la somma dei due spazzi ha dimensione 3... quindi tutto torna invece in $-1$ $W$ ha dimensione 2 quindi $dim(w)+dim(u)=4$ invece $dim(w+u)=3$....
Invece è compreso nella seconda soluzione perchè $h=0$ non produce $RR_4$ medesimo discorso per $h=-1$.... se hai capito questo il procedimento di prima riadattato funziona

[poel]

:S non mi è chiarissimo, anchio sono arrivato che dim di U =2, poi che vuol dire quello che mi chiede il prof? io non riesco proprio a capire la domanda cosa significhi

[Gaber1]

rileggi quello che ho scritto..... ti ho spiegato quello che ti chiede il prof....non ti ho dato alcun procedimento da seguire... però forse mi sono spiegato male sperando che mi intendessi...
fino a dim(U)=2 ti ho detto come si svolge l'esercizio..
La prima domanda ti chiede per quali valori formano una somma diretta.... la seconda per quali valori in $RR_4$ i due insiemi formano una somma diretta. Non volevo servirti la soluzione su un piatto d'argento ma volevo fartici arrivare facendoti ragionare sulle risposte. Perchè la prima risposta è data dal solo insieme $(-1)$ e la seconda dall'insieme $(0,1)$.....

La prima cosa che faccio solitamente quando nn capisco un esercizio ed ho la soluzione è fare il ragionamento inverso....almeno per capire la domanda è utile

Ponendo $h=0$ ottieni una matrice formata da $W=|(-2,-2),(0,0),(0,0),(0,0)|$ quindi $dim(U)+dim(w)=3$

ora studiamo la matrice $(U+W)=|(-1,2,-2,-2),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(-3,4,0,0)|$ che ha dimensione 3...... quindi forma una somma diretta ma non genera $RR_4$.... vedi cosa accade in $-1$... cosi dovresti capire almeno la richiesta ...

[poel]

ok ora ho capito almeno le domande, ma per le soluzioni non è tutto chiaro:
1) per me la somma è diretta se l'intersezione tra i due sottospazi è 0 quindi dim u= dim w e quindi dim w deve essere 2 (imponendo che il rango della matrice frormata dai due vettori che mi fornisce sia !=0 mi viene per h!=0
2)ho imposto che il rango della matrice formata dai vettori di u + w sia 4, e mi trovo con i risultati

[Gaber1]

In una somma diretta due spazzi non sono obbligati ad avere la stessa dimensione, forse ti riferivi solo al secondo caso.
Cmq analizza prima separatamente i due spazzi. Per W puoi notare che in 0 ha dimensione 1 e il minore tra $m$ e $n$ è 2.... o applichi il teorema degli orlati su questa matrice $|(-2,0,h,h),(-2,0,h,-h)|$ osservando che 3 determinanti si annullano quindi a$dimW<=2$

ed ottieni che $dim(W)=1->h=0$

$dim(U)+dim(W)=4$ se $h!=0$ invece $dim(U)+dim(W)=3$ se $h=0$ il più è fatto....

Ora basta trovare il determinante di questa matrice $|(-1,2,-2,-2),(1,0,0,0),(0,1,h,h),(-3,4,h,-h)|$

Ottendendo che $Det(W+U)=h(h+1)$ cioè si annulla per $h=(0,-1)$ verifica cosa succede in 0 ed hai finito