Problema sulla suriettività di un'applicazione
Sia $P_n$ lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado minore uguale a n,
e sia$ D : P_n rarr P_n$ l’usuale derivazione, $D(f) = f'$ Si consideri l’applicazione
$\varphi : P_n rarr P_n$
. $ f rarr f + xf'$
(a) Verificare che effettivamente $f + xf' in P_n$ se $f in P_n$.
(b) Dimostrare che $\varphi$ è lineare.
(c) Dimostrare che $\varphi$ un isomorfismo.
Dunque ho scritto
$f(x)= sum_(i=0)^(n)a_ix^i $
$ D(f(x))=sum_(i=0)^(n)ia_ix^(i-1) $
con dei semplici passaggi si ottiene $ varphi (f(x))=f+xf'=....=sum_(i = 0)^(n)(a_i+ia_i)x^i $
la linearità di $ varphi(f(x)) $ sono riuscito a dimostrarla utilizzando le proprietà delle sommatorie... la pro. commutativa ecc..
anche l'iniettività non è stato difficile dimostrarlo $ varphi(f_a(x))=varphi(f_b(x)) rArr f_a(x)=f_b(x) $
$ sum_(i=0)^(n)(a_i+ia_i)x^i= sum_(i=0)^(n)(b_i+ib_i)x^i $
con un po' di passaggi algebrici si dimostra $ a_i+ia_i=b_i+ib_i $ dunque $ f_a(x)=f_b(x) $
il mio problema è nella dimostrazione della suriettività.. voglio sapere se è vero che
$ AA H(x) in RR[x]_(<=n) EE h(x) : varphi(h(x))=H(x) $ se H è del tipo $ H(x)=h(x)+xh'(x) $ è chiaro che esiste sempre $ h(x)$..
Ma penso che bisogna provare che TUTTI i polinomi ( $ AA H(x) in RR[x]_(<=n))$ di grado $<= n$
si possono scrivere nella forma funzione+x* D(funzione).. non mi viene un idea per poterlo dimostrare...
mi potete aiutare?
grazie!
e sia$ D : P_n rarr P_n$ l’usuale derivazione, $D(f) = f'$ Si consideri l’applicazione
$\varphi : P_n rarr P_n$
. $ f rarr f + xf'$
(a) Verificare che effettivamente $f + xf' in P_n$ se $f in P_n$.
(b) Dimostrare che $\varphi$ è lineare.
(c) Dimostrare che $\varphi$ un isomorfismo.
Dunque ho scritto
$f(x)= sum_(i=0)^(n)a_ix^i $
$ D(f(x))=sum_(i=0)^(n)ia_ix^(i-1) $
con dei semplici passaggi si ottiene $ varphi (f(x))=f+xf'=....=sum_(i = 0)^(n)(a_i+ia_i)x^i $
la linearità di $ varphi(f(x)) $ sono riuscito a dimostrarla utilizzando le proprietà delle sommatorie... la pro. commutativa ecc..
anche l'iniettività non è stato difficile dimostrarlo $ varphi(f_a(x))=varphi(f_b(x)) rArr f_a(x)=f_b(x) $
$ sum_(i=0)^(n)(a_i+ia_i)x^i= sum_(i=0)^(n)(b_i+ib_i)x^i $
con un po' di passaggi algebrici si dimostra $ a_i+ia_i=b_i+ib_i $ dunque $ f_a(x)=f_b(x) $
il mio problema è nella dimostrazione della suriettività.. voglio sapere se è vero che
$ AA H(x) in RR[x]_(<=n) EE h(x) : varphi(h(x))=H(x) $ se H è del tipo $ H(x)=h(x)+xh'(x) $ è chiaro che esiste sempre $ h(x)$..
Ma penso che bisogna provare che TUTTI i polinomi ( $ AA H(x) in RR[x]_(<=n))$ di grado $<= n$
si possono scrivere nella forma funzione+x* D(funzione).. non mi viene un idea per poterlo dimostrare...
mi potete aiutare?
grazie!
Risposte
Ricorda che [tex]$P_n$[/tex] ha dimensione finita (quale?), sicché ogni applicazione lineare di [tex]$P_n$[/tex] in sé è suriettiva se e solo se è iniettiva... 
Se poi vuoi proprio una dimostrazione diretta, hai dimostrato che [tex]$\varphi (f) =\varphi \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) =\sum_{i=0}^n (i+1) a_i x^i$[/tex]; preso [tex]$g=\sum_{i=0}^n b_i x^i \in P_n$[/tex], per risolvere l'equazione [tex]$\varphi (f)=g$[/tex] basta uguagliare i coefficienti dei polinomi [tex]$\varphi (f)$[/tex] e [tex]$g$[/tex], sicché trovi le [tex]$n+1$[/tex] equazioni [tex]$(i+1)a_i=b_i$[/tex], [tex]$i=0,\ldots ,n$[/tex], che si risolvono agilmente rispetto alle incognite [tex]$a_i$[/tex].
Se poi vuoi proprio una dimostrazione diretta, hai dimostrato che [tex]$\varphi (f) =\varphi \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) =\sum_{i=0}^n (i+1) a_i x^i$[/tex]; preso [tex]$g=\sum_{i=0}^n b_i x^i \in P_n$[/tex], per risolvere l'equazione [tex]$\varphi (f)=g$[/tex] basta uguagliare i coefficienti dei polinomi [tex]$\varphi (f)$[/tex] e [tex]$g$[/tex], sicché trovi le [tex]$n+1$[/tex] equazioni [tex]$(i+1)a_i=b_i$[/tex], [tex]$i=0,\ldots ,n$[/tex], che si risolvono agilmente rispetto alle incognite [tex]$a_i$[/tex].
già è vero! bastava pensare al Teorema del Rango e della Nullità; poi se è iniettiva se e solo se $ker(\varphi)=0$ dunque dim(Im) è massima
poi si $P_n$ ha dimensione $n+1$ quindi si vede che uguagliando un generico $\varphi(f_a)$ con un $f_b in RR[x]_(<=n)$ si riesce a eguagliare tutti gli n+1 coefficienti dlle due espressioni
grazie della risposta Gugo82 !!
poi si $P_n$ ha dimensione $n+1$ quindi si vede che uguagliando un generico $\varphi(f_a)$ con un $f_b in RR[x]_(<=n)$ si riesce a eguagliare tutti gli n+1 coefficienti dlle due espressioni
grazie della risposta Gugo82 !!
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