Problema sulla parabola!!!
Salve a tutti e scusate la mia ignoranza...
C'è qualcuno che sa impostare l'equazione di una parabola di cui si conosce il diametro x+y-6=0 e passante per i punti(0,0), (1,0), (0,2)???
Grazie a tutti della risposta....
C'è qualcuno che sa impostare l'equazione di una parabola di cui si conosce il diametro x+y-6=0 e passante per i punti(0,0), (1,0), (0,2)???
Grazie a tutti della risposta....
Risposte
Cos'è il diametro di una parabola?
Io ho provato a considerare l'origine come fuoco... Quindi intersecando la retta x-y=0 con il diametro x+y-6=0 trovo il punto P(3,3)... Chiamo V(x,y) e uguaglio la distaza d(V,P)=d(V,O)... Trovato il vertice mi trovo le rette passanti per V,(0,2); e per V(2,0). Alla fine faccio il fascio di coniche (x+y-3)(x+y)+£(e le 2 rette trovate) e impongo il passaggio per (1,0) ma non trovo nessuna parabola....
il diametro è la direttrice della parabola giusto?
non c'è nessuno che mi può dare qualche consiglio?
Considerare il punto (0,0) come il fuoco della parabola è assolutamente sbagliato in quanto aggiunge al problema un dato arbitrario, non contemplato nella consegna. D'altra parte i dati sono sufficienti alla risoluzione perché consistono nei 5 punti [ espressi in coordinate proiettive (x,y,t) ] :
$A(1,-1,0), B(1,-1,0),C(1,0,1),D(0,2,1), O(0,0,1)$
Di questi, i primi due rappresentano la direzione del diametro dato e sono, come suggerisce la teoria delle coniche, il punto nel quale la parabola è tangente alla retta impropria del piano proiettivo.
A questo punto si può procede in diversi modi.
A) si può scrivere l'equazione del fascio di coniche individuato dalle due coniche degeneri ( ognuna spezzata in due rette)rappresentate simbolicamente dalle equazioni:
$AB cdot CD=0$ e $AC cdot BD=0$
di modo che l'equazione del fascio diventa :
$lambda (AB cdot CD)+mu(AC cdot BD)=0$
Imponendo il passaggio per il quinto punto O(0,0,1) si trova $lambda $ in funzione di $mu$, da sostituire poi nell'equazione del fascio allo scopo di eliminare i parametri $lambda, mu$. Lascio a te i dettagli per il calcolo effettivo.
B) Una soluzione alternativa ( notevolmente più rapida) consiste nell'osservare che, poiché la parabola richiesta è tangente alla retta impropria del piano proiettivo nel punto $A( 1,-1,0)$, la parte quadratica dell'equazione di detta parabola è del tipo $(x+y)^2$ e pertanto l'equazione in questione sarà:
(1) $(x+y)^2+axt+byt+ct^2=0$
con $a,b,c$ parametri da calcolare in base ai dati. Imponendo allora il passaggio della parabola per i punti $C,D, O$ , si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}1+a+c=0\\4+2b+c=0\\c=0\end{cases} \)
da cui la soluzione :
$a=-1,b=-2,c=0$
che sostituita nella (1) fornisce l'equazione della richiesta parabola [ in coordinate non proiettive] :
$(x+y)^2-(x+2y)=0$
Un utile esercizio sarebbe il verificare che tale parabola soddisfa le condizioni del problema.
$A(1,-1,0), B(1,-1,0),C(1,0,1),D(0,2,1), O(0,0,1)$
Di questi, i primi due rappresentano la direzione del diametro dato e sono, come suggerisce la teoria delle coniche, il punto nel quale la parabola è tangente alla retta impropria del piano proiettivo.
A questo punto si può procede in diversi modi.
A) si può scrivere l'equazione del fascio di coniche individuato dalle due coniche degeneri ( ognuna spezzata in due rette)rappresentate simbolicamente dalle equazioni:
$AB cdot CD=0$ e $AC cdot BD=0$
di modo che l'equazione del fascio diventa :
$lambda (AB cdot CD)+mu(AC cdot BD)=0$
Imponendo il passaggio per il quinto punto O(0,0,1) si trova $lambda $ in funzione di $mu$, da sostituire poi nell'equazione del fascio allo scopo di eliminare i parametri $lambda, mu$. Lascio a te i dettagli per il calcolo effettivo.
B) Una soluzione alternativa ( notevolmente più rapida) consiste nell'osservare che, poiché la parabola richiesta è tangente alla retta impropria del piano proiettivo nel punto $A( 1,-1,0)$, la parte quadratica dell'equazione di detta parabola è del tipo $(x+y)^2$ e pertanto l'equazione in questione sarà:
(1) $(x+y)^2+axt+byt+ct^2=0$
con $a,b,c$ parametri da calcolare in base ai dati. Imponendo allora il passaggio della parabola per i punti $C,D, O$ , si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}1+a+c=0\\4+2b+c=0\\c=0\end{cases} \)
da cui la soluzione :
$a=-1,b=-2,c=0$
che sostituita nella (1) fornisce l'equazione della richiesta parabola [ in coordinate non proiettive] :
$(x+y)^2-(x+2y)=0$
Un utile esercizio sarebbe il verificare che tale parabola soddisfa le condizioni del problema.
Ciao grazie della tua risposta.... Adesso mi si pone un altro problema, come faccio a trovare i punti da te trovati? C'è qualche altra discussione o qualche libro ke mi consigli o consigliate??
Se ti riferisci ai punti A( 1,-1,0) e B( 1,-1,0) tieni presente che la direzione ( detta anche comunemente "punto improprio" o "punto all'infinito") di una retta di equazione "ax+by+c=0" è data da (b,-a,0). Nel caso del diametro di equazione x+y-6=0 si ha a=1,b=1 e dunque la sua direzione è ( 1,-1,0).
Scusa se te lo dico ma ho la "vaghissima " sensazione che la tua macchina matematica abbia gli pneumatici un po' sgonfi !
Scusa se te lo dico ma ho la "vaghissima " sensazione che la tua macchina matematica abbia gli pneumatici un po' sgonfi !
Caro ciromario non ti sbagli.. Ci vorrebbe un buon gommista a Pisa, economico, che mi aiuti a gonfiarli, tu ne conosci? 
Ciromario ma i punti A e B sono uguali?
Ciromario ma i punti A e B sono uguali?
I punti A e B coincidono perché rappresentano il punto di tangenza tra la parabola e la retta impropria del suo piano.
Grazie Ciromario finalmente ho capito...
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