Problema sulla definizione di applicazione differenziabile tra varietà
Da la seguente definizione:
Def: Una applicazione $F: M \rightarrow N$, dove $M$ e $N$ sono due varietà differenziabili, è $C^\infty$ se $\psi \circ F \circ \varphi^(-1) : \varphi(U) \rightarrow \psi(V)$ è $C^\infty$ comunque si prenda una carta locale $(U,\varphi)$ su $M$ e per ogni carta locale $(V,\psi)$ su $N$.
Cosa mi garantisce che l'immagine attraverso $F$ di un qualunque aperto $U$ di una carta su $M$ si contenuta dentro a un aperto $V$ di una qualche carta locale su $N$, cioè che il codominio di $\psi \circ F \circ \varphi^(-1)$ sia proprio $\psi(V)$?
Def: Una applicazione $F: M \rightarrow N$, dove $M$ e $N$ sono due varietà differenziabili, è $C^\infty$ se $\psi \circ F \circ \varphi^(-1) : \varphi(U) \rightarrow \psi(V)$ è $C^\infty$ comunque si prenda una carta locale $(U,\varphi)$ su $M$ e per ogni carta locale $(V,\psi)$ su $N$.
Cosa mi garantisce che l'immagine attraverso $F$ di un qualunque aperto $U$ di una carta su $M$ si contenuta dentro a un aperto $V$ di una qualche carta locale su $N$, cioè che il codominio di $\psi \circ F \circ \varphi^(-1)$ sia proprio $\psi(V)$?
Risposte
Per come e' scritta, la definizione non e' proprio esatta perche' non tiene conto del problema che fai notare; il senso pero' e' giusto: quello che si deve capire e' che la differenziabilita' tra varieta' differenziabili e' una proprieta' locale che viene letta attraverso le carte. Modificherei la definizione come segue:
Data $F : M \to N$ diciamo che e' differenziabile se, per ogni $p \in M$, esiste un intorno aperto $U$ di $p$ e un intorno aperto $V$ di $F(p)$ tale che \(F(U) \subseteq V\) e $\psi \circ F \circ \phi^{-1}: \phi( U ) \to \psi (V) $ e' differenziabile (dove $\phi$ e $\psi$ sono le carte su $U$ e $V$).
Bisogna notare che consideriamo atlanti massimali su $M$ e $N$. Quindi le carte sono definite su tutti gli aperti "che siano piccoli abbastanza". Detto meglio, se sono definite su un ricoprimento, sono automaticamente definite su qualunque raffinamento di quel ricoprimento e l'atlante che consideriamo e' un massimale (nel senso del Lemma di Zorn).
Inoltre osserviamo che se la definizione vale per due intorni fissati, allora vale per qualunque coppia di intorni \( U',V' \) tali che \( F(U') \subseteq V'\); questo e' garantito dal fatto che i cambi di carta sono diffeomorfismi locali dello spazio euclideo.
Data $F : M \to N$ diciamo che e' differenziabile se, per ogni $p \in M$, esiste un intorno aperto $U$ di $p$ e un intorno aperto $V$ di $F(p)$ tale che \(F(U) \subseteq V\) e $\psi \circ F \circ \phi^{-1}: \phi( U ) \to \psi (V) $ e' differenziabile (dove $\phi$ e $\psi$ sono le carte su $U$ e $V$).
Bisogna notare che consideriamo atlanti massimali su $M$ e $N$. Quindi le carte sono definite su tutti gli aperti "che siano piccoli abbastanza". Detto meglio, se sono definite su un ricoprimento, sono automaticamente definite su qualunque raffinamento di quel ricoprimento e l'atlante che consideriamo e' un massimale (nel senso del Lemma di Zorn).
Inoltre osserviamo che se la definizione vale per due intorni fissati, allora vale per qualunque coppia di intorni \( U',V' \) tali che \( F(U') \subseteq V'\); questo e' garantito dal fatto che i cambi di carta sono diffeomorfismi locali dello spazio euclideo.
Ok, quindi per ogni $p\in M$ esiste un intorno $U$ contenuro in una carta $(U_{\alpha},\phi_{\alpha})$ e $F(p)$ è contenuto in un intorno $V$ che appartiene ad una carta su $N$ $(V_{\beta},\psi_{\beta})$, e bisogna verificare la condizione $\psi_{\beta}\circF\circ\phi_{\alpha}^{-1}$
In un atlante massimale puoi sempre supporre che per ogni punto $p$ un sistema fondamentale di intorni aperti (volendo aggiungiamo connessi) di $p$ e' fatto di carte.
Il punto fondamentale e' che bisogna scegliere $U$ carta intorno a $p$ abbastanza piccola affinche' $F(U)$ sia contenuto in una carta intorno a $F(p)$.
Il punto fondamentale e' che bisogna scegliere $U$ carta intorno a $p$ abbastanza piccola affinche' $F(U)$ sia contenuto in una carta intorno a $F(p)$.
Poter scegliere un intorno $U$ di quel tipo in modo che $F(U)$ sia contenuto nell'aperto $V$ è una proprietà che dipende quindi anche dalla funzione $F$, una specie di definizione di continuità, giusto?
Esatto. E' equivalente al fatto che $F$ e' continua.
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