Problema sui sottospazi vettoriali

[pietrolodi]

Ciao a tutti,
vi pongo un quesito sugli sottospazi vettoriali e le operazioni di somma e intersezione.
In particolare sono riuscito a svolgere i punti 1 e 2, ma non riesco a capire come risolvere il terzo.

Dal primo punto ottengo che solo u1 e u2 sono basi di U perchè 3 è linearmente dipendente.
Quindi, sfruttando l'equazione dimensionale posso capire che $dimW = 3$, ma come posso determinare i tre vettori della base di W?

Ecco l'esercizio:

Nello spazio $R^4$ si considerino i vettori $ u1 = [1, 1, 1, 1]^t,
u2 = [0, 1, 1, 0]^t,
u3 = [2, −1, −1, 2]^t $


(1) Determinare una base e la dimensione del sottospazio $U$ di $R^4$
tale che $U =⟨u1, u2, u3⟩$.
(2) Determinare una base e la dimensione del sottospazio $V$ di $R^4$
tale che $U ⊕V = R^4$. Scrivere le equazioni di V .
(3) Determinare la dimensione, e una base, di un sottospazio $W$ di $R^4$ tale che $U+W = R^4$
ed $U ∩ W = ⟨u3⟩$. Scrivere le equazioni di W

[Bokonon]

$U=span(u_1,u_2)$ e fin qua siamo d'accordo.
E il secondo punto? $U=span(v_1,v_2)$ ma chi sono i due vettori?
Il terzo punto sarà ovviamente $W=span(v_1,v_2,u_3)$

Diventa anche più evidente se si sceglie $U=span(u_1,u_3)$ che è una scelta perfettamente lecita.

[pietrolodi]

Per il secondo punto, i vettori possono essere $e1=[1,0,0,0]^t $ e $e2 = [0,1,0,0]^t$
perchè estendendo la base di U con questi si ottiene una base di U+V.

Per il terzo punto proprio non riseco a capire la logica del risultato...

[pietrolodi]

grazie per la spiegazione, tutto chiaro!