Problema su endomorfismo
Ciao a tutti.
Ho un endomorfismo $f: R^3->R^3$ definitio da:
$f(x,y,z)=(2x+2y+z, y, -x-2y)$
Devo determinare, se esiste, un sottospazio $W$ di $R^3$ di dimensione 2 su cui $f$ agisce come l'identità.
Non so come procedere; qualcuno mi può dare l'input?
Ho un endomorfismo $f: R^3->R^3$ definitio da:
$f(x,y,z)=(2x+2y+z, y, -x-2y)$
Devo determinare, se esiste, un sottospazio $W$ di $R^3$ di dimensione 2 su cui $f$ agisce come l'identità.
Non so come procedere; qualcuno mi può dare l'input?
Risposte
Com'è definita l'identità?
Imponi che $f(x,y,z) = \text{id}(x,y,z)$, cioé...
Imponi che $f(x,y,z) = \text{id}(x,y,z)$, cioé...
Se $f$ deve agire come identità su $W$ vuol dire che $f(w)=w, \forall w in W$.
Allora dovrebbe essere sufficiente procedere nel seguente modo:
sia $(x,y,z)in RR^3$ si ha $f(x,y,z)=(x,y,z)$ se (x,y,z) è soluzione del sistema:
${ (2x+2y+z=x),(y=y),(-x-2y=z) :}$
il sistema ammette $\infty^2$ soluzioni del tipo $x=-2y-z,y=y,z=z$ quindi lo spazio $W$ cercato ha equazione $x=-2y-z$ e una sua base è data da $cc{B}=\{(-6,3,0),(-2,0,2)\}$
Allora dovrebbe essere sufficiente procedere nel seguente modo:
sia $(x,y,z)in RR^3$ si ha $f(x,y,z)=(x,y,z)$ se (x,y,z) è soluzione del sistema:
${ (2x+2y+z=x),(y=y),(-x-2y=z) :}$
il sistema ammette $\infty^2$ soluzioni del tipo $x=-2y-z,y=y,z=z$ quindi lo spazio $W$ cercato ha equazione $x=-2y-z$ e una sua base è data da $cc{B}=\{(-6,3,0),(-2,0,2)\}$
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