Problema su basi Ortonormali
Buonasera,
Non riesco a risolvere il seguente problema:
Sia (V, <, >) uno spazio vettoriale euclideo reale e sia B = {b1, b2, b3} una sua base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio S di V generato dal vettore b1 − b2.
1) Determinare una base ortonormale di S⊥.
Ho provato considerando la base B come la base canonica e sono arrivato al risultato che base ortogonale è (1,1,0) e (0,0,1) (quest'ultima sarà poi da normalizzare). Non riesco comunque a risolvere nel caso più generale indicato nel problema.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Non riesco a risolvere il seguente problema:
Sia (V, <, >) uno spazio vettoriale euclideo reale e sia B = {b1, b2, b3} una sua base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio S di V generato dal vettore b1 − b2.
1) Determinare una base ortonormale di S⊥.
Ho provato considerando la base B come la base canonica e sono arrivato al risultato che base ortogonale è (1,1,0) e (0,0,1) (quest'ultima sarà poi da normalizzare). Non riesco comunque a risolvere nel caso più generale indicato nel problema.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
ciao!
sapendo che $B$ è una base allora $S^(_|_)$ è ottenuto come l'insieme dei vettori $v in V$ per cui
ma puoi anche scriverlo come
ovvero facendo i conti $x-y=0, z in RR$
si ottiene $S^(_|_)= < b_1+b_2, b_3>$
la base $B_(S^(_|_))={b_1+b_2,b_3}$:
è ortogonale?
è ortonormale? se non dovesse esserlo, quale sarebbe una ortonormale?
sapendo che $B$ è una base allora $S^(_|_)$ è ottenuto come l'insieme dei vettori $v in V$ per cui
$<> =0$
ma puoi anche scriverlo come
$<> = 0$
ovvero facendo i conti $x-y=0, z in RR$
si ottiene $S^(_|_)= < b_1+b_2, b_3>$
la base $B_(S^(_|_))={b_1+b_2,b_3}$:
è ortogonale?
è ortonormale? se non dovesse esserlo, quale sarebbe una ortonormale?
Ciao,
innanzitutto grazie per la risposta
Di seguito la risposta alle tue domande (spero siano giuste altrimenti mi scuso in anticipo per l'evidente scarsa conoscenza sull'argomento)
Per quanto riguarda l'ortogonalità di { \( b_1+b_2,\) } dal momento che i vettori \( b_1\) e \( b_2\) individuano un piano, la loro somma giace nello stesso piano che è ortogonale a \( b_3\).
Inoltre \( b_3\) è gia normalizzato .
Per rendere la base ortonormale dovrebbe essere sufficiente \(\frac{b_1+b_2}{||b_1+b_2||}\) .
La base ortonormale sarà quindi {\(b_3\),\(\frac{b_1+b_2}{||b_1+b_2||}\)}
innanzitutto grazie per la risposta
Di seguito la risposta alle tue domande (spero siano giuste altrimenti mi scuso in anticipo per l'evidente scarsa conoscenza sull'argomento)
Per quanto riguarda l'ortogonalità di { \( b_1+b_2,\) } dal momento che i vettori \( b_1\) e \( b_2\) individuano un piano, la loro somma giace nello stesso piano che è ortogonale a \( b_3\).
Inoltre \( b_3\) è gia normalizzato .
Per rendere la base ortonormale dovrebbe essere sufficiente \(\frac{b_1+b_2}{||b_1+b_2||}\) .
La base ortonormale sarà quindi {\(b_3\),\(\frac{b_1+b_2}{||b_1+b_2||}\)}
esattamente 
Grazie mille
@cidrolin
$||b_1+b_2||=sqrt(2)$
$||b_1+b_2||=sqrt(2)$
@Bokonon
Grazie
Non capisco se quanto hai scritto è per segnalarmi che c'è un errore nella soluzione oppure un suggerimento
Grazie
Non capisco se quanto hai scritto è per segnalarmi che c'è un errore nella soluzione oppure un suggerimento
ti ha semplicemente detto quanto vale quella norma(usa pitagora)
"cidrolin":
@Bokonon
Grazie
Non capisco se quanto hai scritto è per segnalarmi che c'è un errore nella soluzione oppure un suggerimento
La seconda che hai detto
$||b_1+b_2||=sqrt((b_1+b_2)^T(b_1+b_2))=sqrt(b_1^Tb_1+b_1^Tb_2+b_2^Tb_1+b_2^Tb_2)=sqrt(1+0+0+1)=sqrt(2)$
Ok Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo