Problema studio di un sistema lineare

[Darèios89]

Oggi ho fatto questo esercizio, che consiste nello studiare un sistema lineare al variare del parametro k.

[tex]\left\{\begin{matrix}
x+z=1\\
2x+ky-2z=2\\

x+(1+k)y=3\end{matrix}\right.[/tex]

L'ho risolto scrivendo il sistema come matrice e riducendo:

[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
2 &k &-2 &2 \\
1 &1+k &0 &3
\end{pmatrix}[/tex]

Ho sostituito alla riga2 (riga2 -2riga1) e poi la riga3 (riga3- riga1) ottenendo:


[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
0 &k &-4 &0 \\
0 &1+k &-1 &2
\end{pmatrix}[/tex]

A questo punto ho studiato i due sistemi con:

k= -1 e la soluzione del sistema che ottengo è:

(x, y,z)=(3,8,-2)

Per k=0 ottengo un altro sistema che ha come unica soluzione:

(x,y,z)=(1,2,0)

Intanto volevo sapere se fino a qui è corretto, e poi se suppongo k diverso da quei due valori come si continua??

Grazie.

[_overflow_1]

premetto che anche io è da poco che studio algebra lineare, però credo che non vada bene come stai facendo o meglio non ha molto senso provare per $k=-1,0$
pittosto devi vedere per quali valori di $k$ il determinante della matrice è diverso da zero, in questo caso sia la matrice completa che la matrice incompleta avranno rango uguale a tre, quindi sarà un sistema di cramer da risolvere proprio con la fomula di cramer e poi dovrai vedere singolarmente i casi in cui il valore di k annulla il determinante e quindi la matrice incompleta avrà al più rango 2...

se non sono stato chiaro chiedi pure...

[Titingiu]

per incominciare quella non è una matrice ridotta a scala... puoi continuare cosi:
$ | ( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , k , -4 , 0 ),( 0 , 1+k , -1 , 2 ) | $ che diventa sostituendo alla terza, la terza - la seconda $ | ( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , k , -4 , 0 ),( 0 , 1 , 3 , 2 ) | $ inverto la terza con la seconda $ | ( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 3 , 2 ),( 0 , k , -4 , 0 ) | $ e infine sostituisco alla terza la terza - la seconda*k per ottenre $ | ( 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 3 , 2 ),( 0 , 0 , -4-3k , -2k ) | $

[Titingiu]

naturalmente la colonna di destra è quella dei termini noti. il sistema quindi sarà

x+ +z=1
y +3z=2
(-4-3k)z= -2k

ora devi vedere qnd -4-3k=0 cioè quando k=-4/3

poni $ k != -4/3 $ il sistema resta

x+ +z=1
y +3z=2
(-4-3k)z= -2k che ha soluzione

x= 1-(2k)/(4+3k)
y= 2- (6k)/(4+3k)
z= (2k)/(4+3k)


per k=-4/3 il sistema diventa
x+ +z=1
y +3z=2
0= 2/3 che è incompatibile

[Darèios89]

A bene, quindi così l'esercizio è risolto?
Non mi ero accorto che la matrice non era ridotta del tutto
La soluzione proposta da _overflow_ sarebbe valida?
Ringrazio entrambi per l'aiuto.