Problema risoluzione sistema lineare

[nemesis993]

ragazzi perdonate in anticipo la mia ignoranza, ho il seguente problema:

l'.es chiede di studiare la compatibilità e soluzioni per per AX= B

A=
1 K -1
2 1 3
K 1 1

b=
1
5
-1

non ho avuto problemi a svolgerla col teorema degli orlati;
trovando che:

Per k diverso da 4/3 e -1 è DETERMINABILE e ha soluzioni che ho calcolato
per k=4/3 = no soluzioni
Per k=-1 il sistema è INDETERMINABILE e ha infinite soluzioni che sono:
(z -2/3z; 1- 5/3x; z)

Non ho idea di come ci si arrivi a questi numeri, quindi non so calcolare soluzioni quando è INDETERMINATA, qualcuno mi aiuta per favore con un po di pazienza? T__T grazie infinite!

[ostrogoto1]

Considera il sistema dato dalle prime due equazioni relativo al minore non nullo 2x2
$ det [ ( 1 , -1 ),( 2 , 1 ) ]=3!=0 $
$ { ( x-y=1+z ),( 2x+y=5-3z ):} $
dove ho spostato a destra i termini in z trattandoli come se fossero termini noti.
Proseguo al solito:
$ x= det [ ( 1+z , -1 ),( 5-3z , 1 ) ]/det [ ( 1 , -1 ),( 2 , 1 ) ]=2-2/3z $
$ y= det [ ( 1 , 1+z ),( 2 , 5-3z ) ]/det [ ( 1 , -1 ),( 2 , 1 ) ]=1-5/3z $
mentre a z posso assegnare qualsiasi valore.

[tra l'altro nel messaggio iniziale le soluzioni contengono un paio di errori di battitura...]

Se puo' servire a riordinare le idee provo a scrivere lo schema generale per trovare le soluzioni di un sistema di n equazioni in n incognite che scrivo brevemente cosi':
Ax⃗ =b⃗
dove A risulta ovviamente una matrice quadrata di ordine n, x⃗ e' il vettore delle incognite, b⃗ e' il vettore dei termini noti.

Calcolo il determinante di A.
Se detA≠0 allora concludo con il teorema di Kramer che la soluzione esiste ed e' unica e data da
xi=detDidetA dove detDi e' il determinante della matrice A nella quale si sostituisce la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.
Se detA=0 allora per decidere se il sistema ammette o meno soluzione uso il teorema di Roche'-Capelli:
un sistema di equazioni lineari in m equazioni in n incognite ammette soluzioni (una o infinite) se e solo se la matrice incompleta (la matrice dei coefficienti) e la matrice completa (matrice dei coefficienti con in piu' la colonna dei termini noti) hanno lo stesso rango.

Regola di soluzione per sistemi generici di m equazioni in n incognite. La matrice incompleta sia di rango k.
1) si considerino solo k equazioni del sistema in modo che il rango della matrice dei coefficienti di queste equazioni sia k.
Ottengo cosi' un sistema di k equazioni in n incognite.
2) si considerano k incognite nel sistema precedente in modo che il determinante della matrice dei loro coefficienti sia diverso da 0
3) Ottengo un sistema di k equazioni in k incognite con determinante della matrice dei coefficienti diverso da 0 quindi applico Kramer.

Noat: se k

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[nemesis993]

grazie mille x la risposta mi hai tolto un dubbione con una risposta precisa, davvero grazie!
se posso approfittare della tua disponibilità posso porti un altro quesito in merito?
volendo sempre risolvere una matrice, questa volta 4x4 o 3x4 col sistema degli orlati inizio col scegliere un minore 2x2 diverso da 0, lo orlo pian piano fino a quando scopro il rango giusto? ma poi per specificare soluzioni e di conseguenza se determinata-indeterminata o incompleta come dovrei fare?

[ostrogoto1]

Come indicato nel messaggio precedente nello schema generale per sapere se non c'e' soluzione, oppure una sola o piu' soluzioni si usa il teorema di Rouche'-Capelli oppure Kramer dei quali ho riportato gli enunciati.
Vedi anche http://www.ripmat.it/mate/a/ai/aibbcf.html
In dettaglio supponiamo di analizzare l'esercizio del primo messaggio "indovinando" se ci saranno soluzioni e quante saranno.

i) Per $ k!=-1 $ et $ k!=3/4 $ per il teorema di Kramer esiste una soluzione ed e' unica.
ii) Per $ k=-1 $
rango(A)=2 considerando $ det [ ( 1 , -1 ),( 2 , 1 ) ]=3!=0 $
La matrice completa A+termini_noti ha rango:
$ rk[ ( 1 , -1 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , 3 , 5 ),( -1 , 1 , 1 , -1 ) ]=2 $
essendo l'unico 3x3 da controllare (gioco degli orlati):
$ det[ ( 1 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , 5 ),( -1 , 1 , -1 ) ]=0 $
quindi poiche' le due matrici A et A+termini_noti hanno lo stesso rango 2<3 allora per R.Capelli esistono $ oo^1 $ soluzioni. (una variabile libera tra le 3).

iii) Per $ k=3/4 $
rango(A)=2 considerando $ det [ ( 1 , 3/4 ),( 2 , 1 ) ]=-1/2!=0 $
La matrice completa A+termini_noti ha rango:
$ rk[ ( 1 , 3/4 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , 3 , 5 ),( 3/4 , 1 , 1 , -1 ) ]=3 $
essendo l'unico 3x3 da controllare (gioco degli orlati):
$ det[ ( 1 , 3/4 , 1 ),( 2 , 1 , 5 ),( 3/4 , 1 , -1 ) ]=-7/16!=0 $
quindi essendo i ranghi diversi il sistema non ammette soluzione per R.Capelli.

P.S. Volendo essere furbetto calcolo una volta sola un determinante comune a entrambi i casi per calcolare il rango della matrice completa:
$ det[ ( k , -1 , 1 ),( 1 , 3 , 5 ),( 1 , 1 , -1 ) ] $
scegliendo il 2x2 in basso a destra.