Problema pratico di combinazione lineare
Misuro la temperatura in vari punti di una superficie (3 o 4 punti) e devo stimare la temperatura in un punto qualunque.
L'idea è di combinare linearmente le temperature rilevate assegnando un peso in base alla distanza del punto ignoto dai 3 o 4 punti in cui la temperatura è nota; maggiore è la distanza, minore è il peso.
Quando il punto ignoto coincide con uno dei punti noti, la formula deve restituire la temperatura del punto noto.
La formula per 3 punti sarebbe una cosa del genere: t = t1 * p1 + t2 * p2 + t3 * p3
con i pesi da 0 a 1.
Dopo vari tentativi per calcolare i pesi, non ho risolto niente. Qualcuno mi può indicare un metodo?
L'idea è di combinare linearmente le temperature rilevate assegnando un peso in base alla distanza del punto ignoto dai 3 o 4 punti in cui la temperatura è nota; maggiore è la distanza, minore è il peso.
Quando il punto ignoto coincide con uno dei punti noti, la formula deve restituire la temperatura del punto noto.
La formula per 3 punti sarebbe una cosa del genere: t = t1 * p1 + t2 * p2 + t3 * p3
con i pesi da 0 a 1.
Dopo vari tentativi per calcolare i pesi, non ho risolto niente. Qualcuno mi può indicare un metodo?
Risposte
Potresti usare l'inverso della distanza, $d^{-1}= 1/d$, in questo modo:
$t = (t_1 d_1^{-1} + t_2 d_2^{-1} + t_3 d_3^{-1} )/(d_1^{-1}+d_2^{-1}+d_3^{-1})$
E' solo un'idea, ce ne sono molte altre.
$t = (t_1 d_1^{-1} + t_2 d_2^{-1} + t_3 d_3^{-1} )/(d_1^{-1}+d_2^{-1}+d_3^{-1})$
E' solo un'idea, ce ne sono molte altre.
Se la distanza è 0 (cioè "il punto ignoto coincide con uno dei punti noti") come si fa?
Un'altra formula quale potrebbe essere?
Un'altra formula quale potrebbe essere?
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Che cosa intendi con "calcolare i pesi"? Chiaramente non esiste una unica soluzione al determinare una combinazione convessa di tre punti (che poi sospetto sia una approssimazione molto alla buona per la temperatura di un punto "in mezzo" a tre sorgenti di calore, se fosse altrimenti non ci avremmo messo così tanto ad arrivare all'equazione che ne descrive lo spostamento), perché la maniera di esprimere la temperatura del punto $p$ generico come \(w_i p_i + w_j p_j + w_k p_k\) dà uno spazio di soluzioni; due tra \(w_i,w_j,w_k\) sono liberi di variare in \([0,1)\), e il terzo risulta da \(1-w_i-w_j\).
Vuoi forse un modello che esprima in modo ragionevolmente fedele al fenomeno fisico la temperatura di $p$ come combinazione convessa della temperatura di 3 punti \(i,j,k\)?
Vuoi forse un modello che esprima in modo ragionevolmente fedele al fenomeno fisico la temperatura di $p$ come combinazione convessa della temperatura di 3 punti \(i,j,k\)?
"megas_archon":
Vuoi forse un modello che esprima in modo ragionevolmente fedele al fenomeno fisico la temperatura di $p$ come combinazione convessa della temperatura di 3 punti \(i,j,k\)?
No, era solo un esempio per spiegare facilmente una cosa troppo complicata. Il concetto, comunque, è quello.
La formula di Quinzio (che ringrazio) va bene, considerando che è quasi impossibile che le distanze siano nulle.
Attualmente i punti sono 6, ma posso variarli come mi fa più comodo.
Mi serve semplicemente un metodo empirico per lo scopo che chiedevo.
La formula di Quinzio potrebbe bastare, ma se ci fosse un'altra formula da provare potrei vedere quale si comporta meglio (verifica empirica).
Detti \(A,B,C\) i tre punti, sia \(m(\triangle ABC)\) l'area del triangolo che essi formano, e \(t_A,t_B,t_C\) le temperature in $A,B,C$ rispettivamente.
Per ogni punto $X$ interno al triangolo, definisci \(w_A = \frac{m(\triangle XBC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_B = \frac{m(\triangle AXC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_C = \frac{m(\triangle ABX)}{m(\triangle ABC)}\).
Allora, \(t_X = w_At_A+w_Bt_B+w_Ct_C\) è una approssimazione ragionevole della temperatura nel punto $X$.
In questo modello, la funzione \(X\mapsto (w_A,w_B,w_C)\) è continua, e se la temperatura aumenta di un fattore \(\alpha\) in tutti e tre i poli, anche \(t_X\) aumenta di un fattore \(\alpha\). Per costruzione, poi, se \(X=A,B,C\) rispettivamente, \(t_X = t_A,t_B,t_C\) rispettivamente.
Per ogni punto $X$ interno al triangolo, definisci \(w_A = \frac{m(\triangle XBC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_B = \frac{m(\triangle AXC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_C = \frac{m(\triangle ABX)}{m(\triangle ABC)}\).
Allora, \(t_X = w_At_A+w_Bt_B+w_Ct_C\) è una approssimazione ragionevole della temperatura nel punto $X$.
In questo modello, la funzione \(X\mapsto (w_A,w_B,w_C)\) è continua, e se la temperatura aumenta di un fattore \(\alpha\) in tutti e tre i poli, anche \(t_X\) aumenta di un fattore \(\alpha\). Per costruzione, poi, se \(X=A,B,C\) rispettivamente, \(t_X = t_A,t_B,t_C\) rispettivamente.
Ti lascio anche la formula parametrica per i calcoli.
$a,b,c$ sono i 3 punti con le temperature note.
I pedici $x, y$ sono le coordinate di ogni punto.
$u,v$ sono le coordinate del punto incognito.
$t_{a,b,c}$ sono le temperature dei 3 punti
$k$ e' un parametro importante. Se lo metti a 2, usi l'inverso del quadrato delle distanze.
$$ \left(u,\ v,\ \frac{t_{a}\left(\sqrt{\left(a_{x}-u\right)^{2}+\left(a_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+t_{b}\left(\sqrt{\left(b_{x}-u\right)^{2}+\left(b_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+t_{c}\left(\sqrt{\left(c_{x}-u\right)^{2}+\left(c_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}}{\left(\sqrt{\left(a_{x}-u\right)^{2}+\left(a_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+\left(\sqrt{\left(b_{x}-u\right)^{2}+\left(b_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+\left(\sqrt{\left(c_{x}-u\right)^{2}+\left(c_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}}\right)$$
Qui c'e' una visualizzazione grafica della temperatura di ogni punto.
https://www.desmos.com/3d/bhme7asxx4
$a,b,c$ sono i 3 punti con le temperature note.
I pedici $x, y$ sono le coordinate di ogni punto.
$u,v$ sono le coordinate del punto incognito.
$t_{a,b,c}$ sono le temperature dei 3 punti
$k$ e' un parametro importante. Se lo metti a 2, usi l'inverso del quadrato delle distanze.
$$ \left(u,\ v,\ \frac{t_{a}\left(\sqrt{\left(a_{x}-u\right)^{2}+\left(a_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+t_{b}\left(\sqrt{\left(b_{x}-u\right)^{2}+\left(b_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+t_{c}\left(\sqrt{\left(c_{x}-u\right)^{2}+\left(c_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}}{\left(\sqrt{\left(a_{x}-u\right)^{2}+\left(a_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+\left(\sqrt{\left(b_{x}-u\right)^{2}+\left(b_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}+\left(\sqrt{\left(c_{x}-u\right)^{2}+\left(c_{y}-v\right)^{2}}\right)^{-k}}\right)$$
Qui c'e' una visualizzazione grafica della temperatura di ogni punto.
https://www.desmos.com/3d/bhme7asxx4
"megas_archon":
Per ogni punto $X$ interno al triangolo, definisci \(w_A = \frac{m(\triangle XBC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_B = \frac{m(\triangle AXC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_C = \frac{m(\triangle ABX)}{m(\triangle ABC)}\).
Non capisco quelle formule; in pratica come calcolo quei pesi?
Come dicevo, attualmente uso 6 punti; le formule vanno comunque bene?
"Quinzio":
Ti lascio anche la formula parametrica per i calcoli.
La formula parametrica è equivalente a quella nel tuo primo post? Perché in quella forma va benissimo per fare i calcoli.
Grazie anche per il grafico per farmi capire come varia la temperatura.
Nel metodo che mi sono inventato io, i pesi variano linearmente tra la distanza minima con peso 1 e quella massima con peso 0 (quindi ignoro, arbitrariamente, il punto più distante).
Per usare la notazione di megas_archon, scriverei:
$$ t_X = \frac{w_At_A+w_Bt_B+w_Ct_C}{w_A + w_B + w_C} $$
I "problemi" sono 2: la temperatura in un punto noto è diversa da quella misurata e, come già detto, ignoro il punto più distante. Mi pare migliore la tua formula.
"Marcolfa":
[quote="megas_archon"]Per ogni punto $X$ interno al triangolo, definisci \(w_A = \frac{m(\triangle XBC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_B = \frac{m(\triangle AXC)}{m(\triangle ABC)}\), \(w_C = \frac{m(\triangle ABX)}{m(\triangle ABC)}\).
Non capisco quelle formule; in pratica come calcolo quei pesi?[/quote] Ma hai letto quello che ho scritto? Area del triangolo spannato da $ABX$, fratto area del triangolo spannato da $ABC$; area del triangolo spannato da $XBC$, fratto area del triangolo spannato da $ABC$; etc.
"Marcolfa":
[quote="Quinzio"]Ti lascio anche la formula parametrica per i calcoli.
La formula parametrica è equivalente a quella nel tuo primo post? Perché in quella forma va benissimo per fare i calcoli.
[/quote]
Si, se metti $k = 1$.
La formula generale per $n$ punti e' questa:
$t = (\sum_{i = 1}^ n t_i \prod_{j=1, \ i \ne j}^n d_j)/(\sum_{i = 1}^ n \prod_{j=1, \ i \ne j}^n d_j)$
"Quinzio":
Si, se metti $k = 1$.
Faccio qualche prova con varie $k$.
Grazie mille per l'aiuto.
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