Problema parabola (2)
L'esercizio è questo:
Si determini la parabola $gamma$ avente asse $a:$$x-2y+1=0$ e tangente alla retta $r:3x+4y-4=0$ in $P(0,1)$.
Detto $V$ il vertice e dato $A(1,0)$ determinare il baricentro dei punti $A,P,V$
Ora io ho considerato il fascio bitangente, in $A_infty(1,2,0)$ e in $P$
e se non ho sbagliato i calcoli il fascio dovrebbe essere $(3x+4y-4)+k(x-y+1)^2$
ed imponendo che sia parabola ottengo due valori $k=0 Vk=2$
pertanto la mia parabola dovrebbe essere $2x^2+2y^2-4xy+7x-2=0$
Se non che quando provo a calcolare il vertice (l'intersezione della conica con il suo asse), mi trovo con un'equazione di secondo grado che quindi mi restituisce due valori, il che è ovviamente sbagliato.
Dove sta l'errore?
Grazie a tutti!
Si determini la parabola $gamma$ avente asse $a:$$x-2y+1=0$ e tangente alla retta $r:3x+4y-4=0$ in $P(0,1)$.
Detto $V$ il vertice e dato $A(1,0)$ determinare il baricentro dei punti $A,P,V$
Ora io ho considerato il fascio bitangente, in $A_infty(1,2,0)$ e in $P$
e se non ho sbagliato i calcoli il fascio dovrebbe essere $(3x+4y-4)+k(x-y+1)^2$
ed imponendo che sia parabola ottengo due valori $k=0 Vk=2$
pertanto la mia parabola dovrebbe essere $2x^2+2y^2-4xy+7x-2=0$
Se non che quando provo a calcolare il vertice (l'intersezione della conica con il suo asse), mi trovo con un'equazione di secondo grado che quindi mi restituisce due valori, il che è ovviamente sbagliato.
Dove sta l'errore?
Grazie a tutti!
Risposte
Buondì Mistake.
Ci sono varie questioni da sistemare.
Innanzitutto controlla il punto $A_{infty}$. Esso dovrebbe essere il centro della parabola (improprio), dato dall'intersezione dell'asse con la retta impropria. Dovrebbe essere $A_{infty}(2,1,0)$.
Quindi la retta $[P,A_{\infty}]$ dovrebbe avere equazione $x-2y+1=0$.
Il fascio bitangente è quindi
$k(3x+4y-4)+(x-2y+1)^2=0$ (*)
(ho messo il parametro $k$ dall'altra parte così i conti vengono più facili)
Detto questo, per costruzione le coniche del fascio sono tangenti alla retta impropria. E quali sono le coniche (non degeneri) tangenti alla retta impropria? Le parabole. Quindi per costruzione tutte le coniche non degeneri del fascio sono parabole. Non ti serve a niente imporre che sia parabola.
(Tra l'altro non capisco come hai ottenuto i valori $k=0$ oppure $k=2$, ho provato a fare i tuoi conti e mi viene che per ogni valore di $k$ è parabola)
Piuttosto, secondo me, dovresti imporre in (*) che l'asse sia la retta $a$. Finora hai sfruttato l'informazione che $A_{infty}$ è centro e che $r$ è tangente. Prova un po' e fammi sapere...
Ci sono varie questioni da sistemare.
Innanzitutto controlla il punto $A_{infty}$. Esso dovrebbe essere il centro della parabola (improprio), dato dall'intersezione dell'asse con la retta impropria. Dovrebbe essere $A_{infty}(2,1,0)$.
Quindi la retta $[P,A_{\infty}]$ dovrebbe avere equazione $x-2y+1=0$.
Il fascio bitangente è quindi
$k(3x+4y-4)+(x-2y+1)^2=0$ (*)
(ho messo il parametro $k$ dall'altra parte così i conti vengono più facili)
Detto questo, per costruzione le coniche del fascio sono tangenti alla retta impropria. E quali sono le coniche (non degeneri) tangenti alla retta impropria? Le parabole. Quindi per costruzione tutte le coniche non degeneri del fascio sono parabole. Non ti serve a niente imporre che sia parabola.
(Tra l'altro non capisco come hai ottenuto i valori $k=0$ oppure $k=2$, ho provato a fare i tuoi conti e mi viene che per ogni valore di $k$ è parabola)
Piuttosto, secondo me, dovresti imporre in (*) che l'asse sia la retta $a$. Finora hai sfruttato l'informazione che $A_{infty}$ è centro e che $r$ è tangente. Prova un po' e fammi sapere...
Hai ragione 
i conti proprio non sono il mio forte...
Io ho pensato di fare così... determino il simmetrico $P'$ di $P$ rispetto all'asse $a$ ed impongo che questo appartenga alla parabola... in questo modo dovrei trovare $k$ e quindi scrivere la parabola...
i conti proprio non sono il mio forte...Io ho pensato di fare così... determino il simmetrico $P'$ di $P$ rispetto all'asse $a$ ed impongo che questo appartenga alla parabola... in questo modo dovrei trovare $k$ e quindi scrivere la parabola...
Mi sembra una buona idea. Stai imponendo che $a$ sia retta di simmetria ortogonale della parabola, ovvero che $a$ sia asse.
Si. Tu come avrei imposto diversamente che esso fosse asse?
Avrei usato la definizione di asse. Se $a$ è asse, il suo polo è la sua direzione ortogonale. Avrei trovato la direzione ortogonale e avrei imposto che il suo polo fosse $a$.
Ho provato a fare i conti ma, non so perchè, c'è qualcosa che non va. Quando avrò un po' di tempo, ci penserò meglio.
Comunque la tua soluzione è buona. Se tutto fila liscio, puoi usarla tranquillamente.
Ho provato a fare i conti ma, non so perchè, c'è qualcosa che non va. Quando avrò un po' di tempo, ci penserò meglio.
Comunque la tua soluzione è buona. Se tutto fila liscio, puoi usarla tranquillamente.
Ho capito... anche se non ho compreso in che senso il suo polo è $a$... il polo non è un punto? forse $A_infty$?
Errore mio. Volevo dire: "avrei imposto che la retta polare del punto improprio $B_{infty}$ è $a$, dove $B_{infty}$ è la direzione ortogonale alla direzione di $a$".
Scusami.
Scusami.
Perfetto... solo per capire meglio! 
solo per capire meglio!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo